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Residuenformel: Klausur-Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:38 Fr 25.11.2005
Autor: MP3

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Für die Vorbereitung zu einer Klausur möchte ich folgendes Beispiel lösen, bin mir aber nicht ganz klar, wie ich die Residuen ausrechne.

[mm] \integral_{0}^{\infty} {\bruch{\cos x}{x^{2} + 1} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2e} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{\infty} {\bruch{\cos x}{x^{2} + a^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2ae^{a}} [/mm]
a > 0

[mm] \integral_{0}^{\infty} {\bruch{\log x}{x^{2} + a^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2a} \log [/mm] a
a > 0

Ich hoffe, ich habe alles richtig gemacht. Danke und liebe Grüße MP3
        
Bezug
Residuenformel: Kontrolle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:36 Fr 25.11.2005
Autor: MathePower

Hallo MP3,

[willkommenmr]

> Für die Vorbereitung zu einer Klausur möchte ich folgendes
> Beispiel lösen, bin mir aber nicht ganz klar, wie ich die
> Residuen ausrechne.
>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty} {\bruch{\cos x}{x^{2} + 1} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{2e}[/mm]

[ok]

>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty} {\bruch{\cos x}{x^{2} + a^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{2ae^{a}}[/mm]
>  a > 0

[ok]

>  
> [mm]\integral_{0}^{\infty} {\bruch{\log x}{x^{2} + a^{2}} dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{\pi}{2a} \log[/mm] a
>  a > 0

>  

Hier bin ich mir selbst nicht sicher.

Eine Beispielrechung der ersten Aufgabe:

[mm] \begin{gathered} \int\limits_0^\infty {\frac{{\cos \;x}} {{x^2 \; + \;1}}\;dx} \; = \;\operatorname{Re} \;\int\limits_0^\infty {\frac{{e^{ix} }} {{x^2 \; + \;1}}\;dx} \hfill \\ = \;\frac{1} {2}\;\operatorname{Re} \;\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{e^{ix} }} {{x^2 \; + \;1}}\;dx} \hfill \\ = \;\pi \;i\;res\left( {\frac{{e^{ix} }} {{x^2 \; + \;1}}} \right) \hfill \\ = \;\pi \;i\;\left[ {\frac{{e^{ix} }} {{x\; + \;i}}} \right]_i = \;\pi \;i\;\frac{{e^{i^2 } }} {{2\;i}}\; = \;\frac{\pi } {{2\;e^1 }} \hfill \\ \end{gathered} [/mm]

Gruß
MathePower
Bezug
                
Bezug
Residuenformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:48 Fr 25.11.2005
Autor: MP3

Sorry. Man soll nicht das Ergebnis ausrechnen sondern mit Hilfe des Residuensatzes zeigen, wie man auf das Ergebnis kommt. Da hab ich wohl die Frage zu schreiben vergessen.

Danke und liebe Grüße MP3
Bezug
        
Bezug
Residuenformel: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 Do 01.12.2005
Autor: MP3

Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie mit Hilfe des Residuensatzes, dass ...
Geben sie dabei alle Substitutionen und Ableitungen an.

Ich fürchte, ich habe nicht verstanden, wie man ein Residuum ausrechnet. Kann mir das jemand erklären?

Danke! MP3
Bezug
                
Bezug
Residuenformel: Erklärungsversuch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Do 01.12.2005
Autor: MathePower

Hallo MP3,

> Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie mit Hilfe des
> Residuensatzes, dass ...
> Geben sie dabei alle Substitutionen und Ableitungen an.
>  
> Ich fürchte, ich habe nicht verstanden, wie man ein
> Residuum ausrechnet. Kann mir das jemand erklären?

Für die Berechnung des Residuums gilt folgendes:

Hat f(z) in c einen Pol m-ter Ordnung und ist g die holomorphe Fortsetzung von [mm]\left( {z - \;c} \right)^m \;f(z)[/mm] nach c, so gilt:

[mm]res_c f\; = \;\frac{1} {{\left( {m - 1} \right)!}}\;g^{m - 1} (c)[/mm]

Gruß
MathePower
Bezug
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