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Residuenberechnung: Residuenberechnung- Laurent
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:14 So 11.07.2010
Autor: hallowiegehtesmir

Aufgabe
Berechnen sie das Residuum der Singularitäten von
[mm] \frac{e^z}{z-1} [/mm] über deren Laurentreihe.

Hallo,

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

ich dachte mir mal folgendes zur einzigen Singularität 1 (ist ein Pol erster Ordnung): [mm] \frac{e^z}{z-1}=\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}}{z}*\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{z}^m [/mm] wegen geometrischer Reihe.
Nun erste Frage: Kann ich bei beiden Summen denselben Index verwenden und die beiden Summen dann miteinander verrechnen? Warum?

Falls dies geht kann man obigen Term ja kürzen zu:
[mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z*n!} [/mm]

Zweite Frage: Nun weiß ich aber nicht wie ich den negativen Teil der Laurentreihe und damit auch das -1te Element, also das Residuum davon berechnen kann.

Wenn man das Residuum von z=1 "standardmäßig" berechnet kommt e heraus.

Ich bin über jede Hilfe dankbar.
DANKE

Grüße

        
Bezug
Residuenberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Mo 12.07.2010
Autor: fred97


> Berechnen sie das Residuum der Singularitäten von
>  [mm]\frac{e^z}{z-1}[/mm] über deren Laurentreihe.
>  Hallo,
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> ich dachte mir mal folgendes zur einzigen Singularität 1
> (ist ein Pol erster Ordnung):
> [mm]\frac{e^z}{z-1}=\frac{\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}}{z}*\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{z}^m[/mm]
> wegen geometrischer Reihe.
> Nun erste Frage: Kann ich bei beiden Summen denselben Index
> verwenden und die beiden Summen dann miteinander
> verrechnen? Warum?
>  
> Falls dies geht kann man obigen Term ja kürzen zu:
> [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z*n!}[/mm]


Unfug !!


>
> Zweite Frage: Nun weiß ich aber nicht wie ich den
> negativen Teil der Laurentreihe und damit auch das -1te
> Element, also das Residuum davon berechnen kann.


$ [mm] \frac{e^z}{z-1}= e*\frac{e^{z-1}}{z-1}= [/mm] e* [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(z-1)^{n-1}}{n!}$ [/mm]

und fertig ist die Laurententwicklung um z=1.

FRED


>
> Wenn man das Residuum von z=1 "standardmäßig" berechnet
> kommt e heraus.
>
> Ich bin über jede Hilfe dankbar.
>  DANKE
>  
> Grüße


Bezug
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