Residuen + Cauchy Integral < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Berechnen Sie
a) [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx}
[/mm]
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Hallo,
könnt ihr mir weiterhelfen:
Erstmal die Polstellen bestimmen.
[mm] z_0 [/mm] = -ia
[mm] z_1 [/mm] = ia
[mm] z_2= [/mm] -ib
[mm] z_3 [/mm] = ib
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx}= [/mm]
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x + ia)(x-ia))(x + ib)(x-ib)} dx}
[/mm]
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] res_z_{0} {\frac{1}{(x + ia)(x-ia)(x + ib)(x-ib)} dx} z=z_{0}
[/mm]
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] res_z_-ia {\frac{1}{(z-ia)(z + ib)(z-ib)}} [/mm] z=-ia
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(-2ia)(-ia+ib)(-ia-ib)}
[/mm]
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(-2ia)(-a^2+b^2)}
[/mm]
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{2a^3i - 2b^2ia}
[/mm]
= [mm] \frac{\pi}{a^3-b^3a}
[/mm]
ist dies so richtig?
Bitte um Rückmeldung! Danke und Grüße
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Also richtig kann es nicht sein, da deine Ausgangsfunktion bezüglich der Vertauschung von a und b invariant ist. Demnach sollte auch das Ergebnis bzgl. der Vertauschung von a und b invariant sein.
MfG Sunny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
Ich habs nochmal neu gemacht...
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx} [/mm]
ich betrachte jetzt nur [mm] z_0=ia [/mm] und [mm] z_1= [/mm] ib
res_ia ; f(z)= [mm] \limes_{z\rightarrow\ ia}{\frac{1}{((z+ia)(z+ib)(z-ib))}}= -\frac{1}{i2a^3+2iab^2}
[/mm]
res_ib ; f(z)= [mm] \limes_{z\rightarrow\ ib}{\frac{1}{((z+ia)(z-ia)(z+ib))}}= -\frac{1}{i2b^3-2ia^2b}
[/mm]
-> [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] (-\frac{1}{i2a^3+2iab^2}+\frac{1}{i2b^3-2ia^2b}) [/mm] = [mm] \pi (-\frac{1}{a^3+ab^2}+\frac{1}{b^3-a^2b}) [/mm] = [mm] \pi (\frac{-b^3+ba^2 -a^3-ab^3}{(a^3+ab)(b^3-ba^2)})
[/mm]
Bitte um Rückmeldung! Danke
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Hallo Bodo,
> Hallo,
>
> Ich habs nochmal neu gemacht...
>
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx}[/mm]
>
> ich betrachte jetzt nur [mm]z_0=ia[/mm] und [mm]z_1=[/mm] ib
Ganuso habe ich's auch gemacht 
>
> res_ia ; f(z)= [mm]\limes_{z\rightarrow\ ia}{\frac{1}{((z+ia)(z+ib)(z-ib))}}= -\frac{1}{i2a^3+2iab^2}[/mm]
puh, da scheint mir ein VZ falsch zu sein, mache doch mal Zwischenschritte.
Ich bekomme da (nur der Nenner) [mm] $2ai\cdot{}\left[ai+ib\right]\cdot{}\left[ai-ib\right]=2ai\cdot{}\left[(ai)^2-(ib)^2\right]=2ai\cdot{}\left[b^2-a^2\right]$
[/mm]
Für das andere Residuum im Nenner analog [mm] $2bi\cdot{}\left[a^2-b^2\right]$
[/mm]
>
> res_ib ; f(z)= [mm]\limes_{z\rightarrow\ ib}{\frac{1}{((z+ia)(z-ia)(z+ib))}}= -\frac{1}{i2b^3-2ia^2b}[/mm]
>
> -> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx}[/mm]
> = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm](-\frac{1}{i2a^3+2iab^2}+\frac{1}{i2b^3-2ia^2b})[/mm]
> = [mm]\pi (-\frac{1}{a^3+ab^2}+\frac{1}{b^3-a^2b})[/mm] = [mm]\pi (\frac{-b^3+ba^2 -a^3-ab^3}{(a^3+ab)(b^3-ba^2)})[/mm]
>
> Bitte um Rückmeldung! Danke
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi, also
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx} [/mm]
res_ia ; f(z)= [mm] \limes_{z\rightarrow\ ia}{\frac{1}{((z+ia)(z+ib)(z-ib))}}
[/mm]
= 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(ia+ia)(ia+ib)(ia-ib)}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(2ia)(i^2a^2-i^2b^2)} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(2ia)(-a^2+b^2)} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \frac{1}{(-2ia^3 + 2iab^2)} [/mm] = [mm] \frac{\pi}{-a^3+ab^2}
[/mm]
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hi, also
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\frac{1}{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)} dx}[/mm]
>
>
> res_ia ; f(z)= [mm]\limes_{z\rightarrow\ ia}{\frac{1}{((z+ia)(z+ib)(z-ib))}}[/mm]
>
> = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{(ia+ia)(ia+ib)(ia-ib)}=[/mm] 2 [mm]\pi[/mm] i
> [mm]\frac{1}{(2ia)(i^2a^2-i^2b^2)}[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{(2ia)(-a^2+b^2)}[/mm] = 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]\frac{1}{(-2ia^3 + 2iab^2)}[/mm]
Oh wei, kürze doch den Scheiß direkt weg, du kannst doch 2i raushauen, wieso multiplizierst du den Driss im Nenner aus??
> = [mm]\frac{\pi}{-a^3+ab^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $=\frac{\pi}{a(b^2-a^2)}$
[/mm]
Für das andere ergibt sich dann ...
Damit als Summe ...
PS: ich persönlich würde erst die beiden Residuen addieren und dann [mm] $\cdot{}2\pi [/mm] i$ rechnen, aber egal, du kannst ja auch beide Residuen zuerst mal [mm] $2\pi [/mm] i$ rechnen und das dann addieren
>
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
Also,
ich komme für z=ib
[mm] \frac{\pi}{-b^3+a^2b}
[/mm]
Insgesamt:
[mm] \frac{\pi}{-a^3+ab^2} [/mm] + [mm] \frac{\pi}{-b^3+a^2b} [/mm]
= [mm] \frac{\pi(-b+a^2b)+\pi(-a^3+ab^2)}{(-a^3+ab^2)(-b+a^2b)}
[/mm]
So müsste es eigentlich stimmen.
Könntest du mir sagen ob dieses Ergebnis richtig ist? (Ich habe die gleiche Aufgabe, nur mit sinus)
http://matheplanet.com/default3.html?topic=126146=40
Danke und Grüße
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Hallo nochmal,
> Also,
>
> ich komme für z=ib
>
> [mm]\frac{\pi}{-b^3+a^2b}[/mm]
>
> Insgesamt:
>
> [mm]\frac{\pi}{-a^3+ab^2}[/mm] + [mm]\frac{\pi}{-b^3+a^2b}[/mm]
> = [mm]\frac{\pi(-b+a^2b)+\pi(-a^3+ab^2)}{(-a^3+ab^2)(-b+a^2b)}[/mm]
Da scheint mir der ein oder andere Exponent zu fehlen.
Ich verstehe auch nicht, wieso du dich strikt weigerst, zu vereinfachen und alles wie wild geworden ausmultiplizierst.
Irgendwie solltest du dein Ergebnis mit 3. binom. Formel zu [mm] $\frac{\pi}{ab(a+b)}$ [/mm] vereinfachen können ...
>
> So müsste es eigentlich stimmen.
>
> Könntest du mir sagen ob dieses Ergebnis richtig ist? (Ich
> habe die gleiche Aufgabe, nur mit sinus)
>
> http://matheplanet.com/default3.html?topic=126146=40
?? Hinter dem link geht's um Cauchy-Riemann Gl., also tippe dein Integral ein.
Am besten mache nen neuen thread auf!
>
> Danke und Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
3. binomische Formel
[mm] (a+b)^2 (a-b)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2
[/mm]
[mm] \frac{2\pi}{(-a^3+ab^2)(a^2-b^3)} [/mm] so nun fehlt mir ne idee...
ich würd das jetzt alles ausmultiplizieren...
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 14.07.2009 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm] \frac{-b\pi}{ab(a^2-b^2)}+\frac{a\pi}{ab(a^2-b^2)}=\frac{\pi(a-b)}{ab(a^2-b^2)}=\frac{\pi(a-b)}{ab(a-b)(a+b)}=...
[/mm]
= [mm] \frac{\pi}{ab(a+b)}
[/mm]
ok, die quadrate bei der binomischen formel waren sehr ungünstig
grüße
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Hallo nochmal,
>
> [mm]\frac{-b\pi}{ab(a^2-b^2)}+\frac{a\pi}{ab(a^2-b^2)}=\frac{\pi(a-b)}{ab(a^2-b^2)}=\frac{\pi(a-b)}{ab(a-b)(a+b)}=...[/mm]
>
>
> = [mm]\frac{\pi}{ab(a+b)}[/mm]
eben! Sag' ich ja die ganze Zeit ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
> ok, die quadrate bei der binomischen formel waren sehr
> ungünstig
Das stimmt wohl
Da haste dich ordentlich vertippt
> grüße
Ja, schönen Abend noch
schachuzipus
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Hallo Bodo,
ich habe es gerade mal durchgerechnet unter der Annahme, dass $a,b>0$ sind.
Du musst gem. Redisuensatz ja nur die Residuen an denjenigen Stellen w mit $Im(w)>0$ berechnen.
Dh. [mm] $2\pi i\sum\limits_{Im(w)>0}res_w [/mm] f$
Das sind unter der obigen Annahme: $w=ia$ und $w=ib$
Zur Kontrolle:
Ich komme auf [mm] $\frac{\pi}{ab(a+b)}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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![[tatue]](/images/smileys/tatue.gif "[tatue]"){kind=small}
