Rentenrechnung < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 So 03.04.2016 | | Autor: | issy |
| Aufgabe | Frau XYZ ist 29 Jahre alt, monatlich verdient sie 3300 Euro brutto ( Gehalt wird jeweils am Ende des Monats ausbezahlt), 6% ihres Bruttogehalts (monatlich) wird abgezogen und in eine Rentenversicherung mit 2,7 % Zinsen jährlich gezahlt. Das Geld soll dann ab dem 65. Lebensjahr in monatlichen Raten ausbezahlt werden.
a) das Endkapital zur Zeit des Renteneintritts?
(sie wird genau am 31. Dez. 65 Jahre alt)
b) wie hoch wird die am Anfang des Monats zu erhaltende Rente sein, wenn die Auszahlung des Endkapitals zwischen 65 und 77 Jahren erfolgen soll?
c) die monatlich auszuzahlenende Rate, wenn es sich um eine ewige Rente handelt? |
zu a) 3300 x 0,06x12 x ((1,0027^36-1) / (1,0027-1)) x 1,0027
ist das richtig? Vorschüssige Rente???
und b) und c) weiß ich leider nicht genau was ich da rechnen muss...
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=2419671#2419671
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 So 03.04.2016 | | Autor: | leduart |
Das Geld wir monatlich eingezahlt und auch ab da verzinst! und zwar am Ende des Monats.
also ist dein Ansatz nur jahresweise zu rechnen falsch.
zu b das Geld wird ja in 12 (oder 13 ich bin unsicher mit dem "wischen")) Jahren abmonatlich er zurückgezahlt, dabei wird wohl der jeweils verbleibende Restsumme weiter mit 2,7% verzinst .
deine Ergebnisse kannst du z. B in http://rente.rechner.handelsblatt.com/rechner/handelsblatt2/
überprüfen
Gruß leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 03.04.2016 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
wie leduart bereits gesagt hat, wird der Sparbetrag von 198 (6% von 3300) monatlich angelegt. Nun könnte man eine monatliche Verzinsung so verstehen, daß dem Kapital jeden Monat die Zinsen zugeschlagen werden und dann der Zinseszinseffekt eintritt. Das erscheint mir aber vor der ausdrücklichen Angabe der jährlichen Verzinsung in der Aufgabe fraglich. Das spricht dafür, daß unterjährig die Verzinsung nur linear erfolgt und man zuerst eine Jahresrate ermitteln muß, die das berücksichtigt, bevor man weiter rechnet. Da die Zahlungen hier immer am Monatsende vorgesehen sind, sind sie nachschüssig. Die Jahresrate (JR) ergibt sich aus der Summe der einzelen verzinsten Raten, die erste für 11 Monate, die zweite für 10 usw. Man kann das letztlich zu einer Formel umformen mit ZpJ(Zahlungen pro Jahr)=12, p=2,7, r=198, die lautet
$ JR=r [mm] \cdot \left(ZpJ + \bruch{p \cdot \left(ZpJ-1\right)}{200}\right)$.
[/mm]
Der sich ergebende Betrag ist dann in die Formel einzusetzen, die Du nennst, allerdings muß es richtig heißen für den Endwert (EW)
$ EW=JR [mm] \cdot\bruch{1,027^{36}-1}{1,027-1}$.
[/mm]
Für die Aufgabe b) ist der eben berechnete Wert als Barwert (BW) für eine jetzt vorschüssige monatliche Rente mit einer Laufzeit von 12 Jahren anzusetzen. Dabei ist wieder die lineare Verzinsung zu berücksichtigen. Hier ist wegen der Vorschüssigkeit in der oben zu JR genannten Formel lediglich das Minuszeichen durch ein Pluszeichen auszutauschen. Ansonsten muß mit der Barwertformel für nachschüssige jährliche Renten gerechnet werden.
Und bei c) ist der zu a) errechnete Wert als Barwert der ewigen Rente anzusetzen, für die gilt, wobei JR wie bei b) berechnet wird
$ [mm] BW=\bruch{JR \cdot 100}{2,7} [/mm] $
Gruß
Staffan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 03.04.2016 | | Autor: | issy |
> Hallo,
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> wie leduart bereits gesagt hat, wird der Sparbetrag von 198
> (6% von 3300) monatlich angelegt. Nun könnte man eine
> monatliche Verzinsung so verstehen, daß dem Kapital jeden
> Monat die Zinsen zugeschlagen werden und dann der
> Zinseszinseffekt eintritt. Das erscheint mir aber vor der
> ausdrücklichen Angabe der jährlichen Verzinsung in der
> Aufgabe fraglich. Das spricht dafür, daß unterjährig die
> Verzinsung nur linear erfolgt und man zuerst eine
> Jahresrate ermitteln muß, die das berücksichtigt, bevor
> man weiter rechnet. Da die Zahlungen hier immer am
> Monatsende vorgesehen sind, sind sie nachschüssig. Die
> Jahresrate (JR) ergibt sich aus der Summe der einzelen
> verzinsten Raten, die erste für 11 Monate, die zweite für
> 10 usw. Man kann das letztlich zu einer Formel umformen mit
> ZpJ(Zahlungen pro Jahr)=12, p=2,7, r=198, die lautet
>
> [mm]JR=r \cdot \left(ZpJ + \bruch{p \cdot \left(ZpJ-1\right)}{200}\right)[/mm].
>
> Der sich ergebende Betrag ist dann in die Formel
> einzusetzen, die Du nennst, allerdings muß es richtig
> heißen für den Endwert (EW)
>
> [mm]EW=JR \cdot\bruch{1,027^{36}-1}{1,027-1}[/mm].
>
> Für die Aufgabe b) ist der eben berechnete Wert als
> Barwert (BW) für eine jetzt vorschüssige monatliche Rente
> mit einer Laufzeit von 12 Jahren anzusetzen. Dabei ist
> wieder die lineare Verzinsung zu berücksichtigen. Hier ist
> wegen der Vorschüssigkeit in der oben zu JR genannten
> Formel lediglich das Minuszeichen durch ein Pluszeichen
> auszutauschen. Ansonsten muß mit der Barwertformel für
> nachschüssige jährliche Renten gerechnet werden.
>
> Und bei c) ist der zu a) errechnete Wert als Barwert der
> ewigen Rente anzusetzen, für die gilt, wobei JR wie bei b)
> berechnet wird
>
> [mm]BW=\bruch{JR \cdot 100}{2,7} [/mm]
>
> Gruß
> Staffan
>
>
>
Vielen Dank!
ich verstehe nicht ganz wo die "200" herkommt?
Gruß
Issy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 So 03.04.2016 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
wenn man die Zahlungen und Zinsen innerhalb eines Jahres rechnerisch so erfaßt, wie ich allgemein beschrieben hatte, ergibt sich folgendes:
$ JR=r [mm] \cdot \left(\bruch{p\cdot \left(ZpJ-1 \right)}{100 \cdot ZpJ}\right)+r \cdot \left(\bruch{p\cdot \left(ZpJ-2 \right)}{100 \cdot ZpJ}\right)+ [/mm] r [mm] \cdot \left(\bruch{p\cdot \left(ZpJ-3 \right)}{100 \cdot ZpJ}\right)+...r \cdot \left(\bruch{p\cdot \left(ZpJ-\left(ZpJ-1\right)\right)}{100 \cdot ZpJ}\right)+ [/mm] ZpJ [mm] \cdot [/mm] r $
$ JR=r [mm] \cdot \bruch{p}{100 \cdot ZpJ}\cdot \left(\left(ZpJ-1\right)+\left(ZpJ-2\right)+\left(ZpJ-3\right)+...+1\right)+ZpJ \cdot [/mm] r $
Die Klammer ist eine arithmetrische Reihe, also
$ JR=r [mm] \cdot \bruch{p}{100 \cdot ZpJ}\cdot\bruch{ZpJ-1}{2}\cdot \left(ZpJ-1+1\right)+ZpJ \cdot [/mm] r $
und gekürzt
$ JR=r [mm] \cdot \left(ZpJ+\bruch{p}{200}\cdot \left(ZpJ-1\right)\right) [/mm] $
Gruß
Staffan
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Ich habe auch Interesse an der Aufgabe. Ich verstehe nicht wie die folgende Gleichung hergeleitet wurde:
$ JR=r [mm] \cdot \left(ZpJ + \bruch{p \cdot \left(ZpJ-1\right)}{200}\right) [/mm] $
Vor allem verstehe ich den foglenden Satz nicht:
> Da die Zahlungen hier immer am
> Monatsende vorgesehen sind, sind sie nachschüssig. Die
> Jahresrate (JR) ergibt sich aus der Summe der einzelen
> verzinsten Raten, die erste für 11 Monate, die zweite für
> 10 usw.
Wieso ergibt sich die erste jahresrate aus der Summe von 11 Monaten und die zweite aus der Summe für 10 Monaten?
Müsste sich nicht jede Jahresrate aus der Summe von 12 Monaten ergeben?
Die Dame zahlt jeden Monat eine Rate von 198 Euro. Wird diese Rate monatlich verzinst oder wird nur die Jahresrate, also 198*12=2376Euro, verzinst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 29.05.2016 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
ich hatte in meiner letzten Antwort versucht dazulegen, wie sich die Formel herleiten läßt. Möglicherweise ist meine Ausdrucksweise nicht so deutlich, wie ich es angenommen hatte. Es werden im Jahr natürlich 12 Zahlungen geleistet, dabei die erste am Ende des ersten Monats. Sie wird für den Rest des Jahres (d.h. 11 Monate) verzinst, die nächste am Ende des zweiten Monats, so daß sich eine Verzinsung für 10 Monate ergibt usw. Die letzte Rate wird am Jahresende gezahlt mit der Folge, daß hier im laufenden Jahr keine Zinsen anfallen. Die Summe aus den 12 Raten einschließlich der im Jahr angefallenen Zinsen ist dann eine "Ersatz"Jahresrate, mit der man mit den üblichen Rentenformeln weiter rechnen kann.
In der Literatur wird diese Berechnungsweise mit linearer unterjähriger Verzinsung etwa behandelt bei Kobelt/Schulte Finanzmathemathik oder Caprano/Wimmer Finanzmathematik. Der Zinseszinseffekt tritt jeweils zum Jahresende ein.
Gruß
Staffan
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Hallo,
ich habe das leider noch nicht verstanden. Ich habe mal die Rente für 2 Jahre berechnet. Was genau ist in meiner Rechnung falsch:
1 Jahr: [mm]12*3300*0,06*1,027=2440,152 Euro[/mm]
Begründung: Sie zahlt 6% ihres Jahresbruttoeinkommen (12*3300*0,06) in die Rentenkasse. Dieser wird um 2,7% verzinst.
2 Jahr: [mm](2440,152+12*3300*0,06)*1,027=4946,188 Euro[/mm]
Begründung: Zu dem bereits im ersten Jahr verzinste Beitrag (2440,152 Euro) wird im 2. jahr wieder 6% des Jahrenbruttogehalts eingezahlt. Der daraus resultierende betrag wird wieder um 2,7% verzinst.
Stimmt die Rechnung soweit? Wenn nein, wo ist mein Denkfehler?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Mo 30.05.2016 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
in der Aufgabe wird von dem monatlichen Gehalt (3.300.-) ausgegangen und monatlich ein Betrag (198.-) für die Rentenversicherung abgezogen. Das heißt doch, er wird auch monatlich dort eingezahlt und muß dann dementsprechend verzinst werden. Bei Deiner Rechnung wird eine einmalige Zahlung am Jahresanfang geleistet von $ 12 [mm] \cdot [/mm] 3300 [mm] \cdot [/mm] 0,06 =2376 $ und bereits für das erste Jahr schon verzinst.
Ich habe folgendes angenommen, wobei ich das Jahr der Einfachheit dem Kalenderjahr gleichgesetzt habe:
Ende Januar wird eingezahlt 198,00. Bis Ende Dezember, also 11 Monate, wird dieser Betrag verzinst, so daß [mm] B_1 [/mm] beträgt
[mm] $B_1= [/mm] 198 [mm] \cdot \left(1+\bruch{2,7 \cdot 11}{100 \cdot 12}\right)=202,90 [/mm] $;
Ende Februar werden wieder eingezahlt 198,00, die für 10 Monate verzinst werden, also
$ [mm] B_2=198 \cdot \left(1+\bruch{2,7 \cdot 10}{100 \cdot 12}\right)=202,46 [/mm] $.
Das setzt sich die folgenden Monate so fort. Zum Jahresende werden alle verzinsten und ein unverzinster Betrag (nämlich der letzte) addiert mit dem Ergebnis 2.405,40 (JR), das sich auch dann ergibt, wenn man die von mir angeführte Formel verwendet. Für die folgenden Jahre kann man jetzt jahrweise rechnen. Am Ende des zweiten Jahres ist das dann $ [mm] J_2=2405,40 \cdot [/mm] 1,027 + 2405,40=4875,75$ bzw. allgemeiner der Endwert (EW) für n Jahre beträgt
$ EW=JR [mm] \cdot \bruch{1,027^n-1}{1,027-1}$
[/mm]
Gruß
Staffan
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