Rentenformel umstellen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Jemand macht am 31.12.2000 eine Erbschaft in Höhe von 100.000 und stellt diesen Betrag auf ein verzinsliches Bankkonto, danach zahlt er vom 31.12.2001 ab 4 nachschüssige Beträge von je 5000 auf das Konto ein. Vom 01.01.2006 will er regelmässig am Anfang eines Jahres 12.000 Euro von seiner Bank abheben. Es ist ein fester Zinssatz von 4% über die gesamte Laufzeit mit der Bank vereinbart worden.
2,1 Veranschaulichen an einer Zeitgeraden.
2,2 Berechnen Sie die Anzahl der Renten. Gehen Sie zweistufig vor und bestimmen Sie zunächst den Kapitalaufbau, dann den Kapitalabbau.
2,3 wie hoch wäre der Betrag einer ewigen Rente.
2,4 Eine Bausparkasse bietet ein Annuitätendarlehen mit 2% anfänglicher Tilgung und einem Zinssatz von 4,5% p.A. an. Nach wie viel Jahren ist das Darlehen getilgt. |
Hy @all,
ich hoffe Ihr könnt mir bei Nr. 2,2 helfen. Hier mein Lösungsansatz.
Errechnung des Kapitalaufbaus:
[mm]100000 * 1,04^5 + 5000 * \bruch{1,04^4-1}{0,04} * 1,04= 148746,9 [/mm]
[mm]148746,90 * 1,04^n - 12000 * \bruch{1,04^n-1}{0,04} * 1,04= 0 [/mm]
Falls das korrekt zu sein scheint habe ich wahnsinnige Probleme beim umstellen nach n. Könnt ihr mir da in einfachen Schritten weiterhelfen !?
HELP !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruss,
P.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Do 17.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
das ist so nicht ganz korrekt.
Berechne zuerst mal den Rentenendwert nach 6 Jahren mit der Einzahlung von 5000. Bedenke aber, dass das Startkapital mitverzinst wird, und du das noch aufaddieren musst.
Also ist das Kapital nach 5 Jahren (am 01.01.2006):
[mm] \underbrace{10.000*1,04^{5}}_{K_{5}}+\underbrace{5.000*\bruch{1,04^{5}-1}{0,04}}_{R_{5}}
[/mm]
Diesen Betrag nimmst du als Startkapital für deinen vorschüssigen Rentenbarwert, aus dem du dann dein n bestimmen kannst.
$$ [mm] R_{0}=r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw R_{0}=\left(\bruch{r*q^n}{q-1}-\bruch{r}{q-1}\right)\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw R_{0}=\bruch{r*q^n}{q-1}*\bruch{1}{q^{n-1}}-\bruch{r}{q-1}*\bruch{1}{q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw R_{0}=\bruch{r*q^n}{(q-1)*q^{n-1}}-\bruch{r}{(q-1)*q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw R_{0}=\bruch{r*q^n-r}{(q-1)*q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw R_{0}=\bruch{r*(q^{n}-1)}{(q-1)*q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q^{n}-1}{q^{n}-q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q^{n-1}*q}{(q-1)*q^{n-1}}-\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q}{q-1}-\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}}$$ [/mm]
$$ [mm] \gdw \bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}=\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}}$$ [/mm]
$$ [mm] \gdw \left(\bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}\right)*(q-1)*q^{n-1}=1 [/mm] $$
$$ [mm] \gdw (q-1)*q^{n-1}=\bruch{1}{\bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}} [/mm] $$
$$ [mm] \gdw q^{n-1}=\bruch{1}{(q-1)*\left(\bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}\right)} [/mm] $$
Kommst du jetzt alleine weiter?
Marius
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Ehrlich gesagt so richtig komme da nicht weiter. Das ist dein letzter Term. Die Daten liegen soweit vor das ich einsetzen kann.
$ [mm] \gdw q^{n-1}=\bruch{1}{(q-1)\cdot{}\left(\bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}\right)} [/mm] $
$ [mm] \gdw 1,04^{n-1}=\bruch{1}{(1,04-1)\cdot{}\left(\bruch{{148746,90}}{12000}-\bruch{1,04}{1,04-1}\right)} [/mm] $
nach erstem einsetzen komme ich auf $ [mm] \gdw 1,04^{n-1} [/mm] = -1,837637386 $
jetzt würde ich den Log. einsetzen. Demnach würde es wie folgt aussehen.
$ [mm] \gdw [/mm] n-1 * log1,04 = log [-1,837637386]
da hört es bei mir wieder auf, weil log aus negativer Zahl nicht möglich ist.
Ist mein obiger Ansatz denn falsch ?! Oder sehe ich das richtig das du entsprechend abzinst auf den Stichtag und ich aufzinse ?!
$ 148746,90 [mm] \cdot{} 1,04^n [/mm] - 12000 [mm] \cdot{} \bruch{1,04^n-1}{0,04} \cdot{} [/mm] 1,04= 0 $
Ich habe zwischenzeitlich die Formel zur Suche nach dem n bei Annuitäten angewendet in diesem Beispiel und komme auf ca. 17,46 Jahre. Nach Einsetzen in die aufgeführte Gleichung komme ich damit auf 0. (+- Rundungsdifferenz)
Folgende Formel habe ich verwendet.
$ n= log [mm] [\bruch [/mm] {A}{A-(K0*i)}] /logq$
mit Zahlen
$ n= log [mm] [\bruch [/mm] {12000}{12000-(148746,9*0,04)}] /log1,04$
Wäre das korrekt ?!
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Hallo!
Warum formst du nicht soforrt nach n um, so hättest du eine geschlossene Formel:
[mm] k_0=r*\bruch{q^n-1}{q^{n-1}(q-1)}
[/mm]
[mm] \bruch{k_0(q-1)}{r}=\bruch{q^n-1}{q^{n-1}}
[/mm]
[mm] \bruch{k_0(q-1)}{r*q}=\bruch{q^n-1}{q^n}
[/mm]
[mm] \bruch{k_0(q-1)}{r*q}=1-\bruch{1}{q^n}
[/mm]
[mm] 1-\bruch{k_0(q-1)}{r*q}=\bruch{1}{q^n}
[/mm]
[mm] \bruch{r*q-k_0(q-1)}{q*r}=\bruch{1}{q^n}
[/mm]
[mm] \bruch{r*q}{r*q-K_0(q-1)}=q^n
[/mm]
[mm] n=\bruch{ln(\bruch{r*q}{r*q-K_0(q-1)})}{ln(q)}
[/mm]
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Do 17.07.2008 | | Autor: | smarty |
Hallo M.Rex,
> Hallo
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>
> das ist so nicht ganz korrekt.
>
> Berechne zuerst mal den Rentenendwert nach 6 Jahren mit der
> Einzahlung von 5000. Bedenke aber, dass das Startkapital
> mitverzinst wird, und du das noch aufaddieren musst.
>
> Also ist das Kapital nach 5 Jahren (am 01.01.2006):
>
> [mm]\underbrace{10.000*1,04^{5}}_{K_{5}}+\underbrace{5.000*\bruch{1,04^{5}-1}{0,04}}_{R_{5}}[/mm]
>
> Diesen Betrag nimmst du als Startkapital für deinen
> vorschüssigen Rentenbarwert, aus dem du dann dein n
> bestimmen kannst.
>
> [mm]R_{0}=r\cdot{}\bruch{q^{n}-1}{q-1}\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw R_{0}=\left(\bruch{r*q^n}{q-1}-\bruch{r}{q-1}\right)\cdot{}\bruch{1}{q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw R_{0}=\bruch{r*q^n}{q-1}*\bruch{1}{q^{n-1}}-\bruch{r}{q-1}*\bruch{1}{q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw R_{0}=\bruch{r*q^n}{(q-1)*q^{n-1}}-\bruch{r}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw R_{0}=\bruch{r*q^n-r}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw R_{0}=\bruch{r*(q^{n}-1)}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q^{n}-1}{q^{n}-q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q^{n-1}*q}{(q-1)*q^{n-1}}-\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{R_{0}}{r}=\bruch{q}{q-1}-\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{R_{0}}{r}-\bruch{q}{q-1}=\bruch{1}{(q-1)*q^{n-1}}[/mm]
hier ist das "-" auf der rechten Seite verloren gegangen. Ob das Auswirkungen hatte, habe ich nicht nachgerechnet.
Grüße
Smarty
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 Do 17.07.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo paule.spenge,
> Jemand macht am 31.12.2000 eine Erbschaft in Höhe von
> 100.000 und stellt diesen Betrag auf ein verzinsliches
> Bankkonto, danach zahlt er vom 31.12.2001 ab 4
> nachschüssige Beträge von je 5000 auf das Konto ein. Vom
> 01.01.2006 will er regelmässig am Anfang eines Jahres
> 12.000 Euro von seiner Bank abheben. Es ist ein fester
> Zinssatz von 4% über die gesamte Laufzeit mit der Bank
> vereinbart worden.
>
>
>
> 2,2 Berechnen Sie die Anzahl der Renten. Gehen Sie
> zweistufig vor und bestimmen Sie zunächst den
> Kapitalaufbau, dann den Kapitalabbau.
>
>
> ich hoffe Ihr könnt mir bei Nr. 2,2 helfen. Hier mein
> Lösungsansatz.
>
> Errechnung des Kapitalaufbaus:
>
> [mm]100000 * 1,04^5 + 5000 * \bruch{1,04^4-1}{0,04} * 1,04= 148746,9[/mm]
>
> [mm]148746,90 * 1,04^n - 12000 * \bruch{1,04^n-1}{0,04} * 1,04= 0[/mm]
>
Mein Ansatz:
[mm] 100.000*1,04^5 [/mm] + [mm] 5.000*\bruch{1,04^4 -1}{0,04} [/mm] = 142.897,61
[mm] 142.297,61*1,04^n [/mm] - [mm] 12.000*1,04*\bruch{1,04^n -1}{0,04} [/mm] = 0
[mm] 142.897,61*1,04^n [/mm] - [mm] 312.000*(1,04^n [/mm] -1) = 0
[mm] 1,04^n [/mm] *(142.897,61 - 312.000) = - 312.000
[mm] 1,04^n [/mm] *(- 169.102,39) = - 312.000
[mm] 1,04^n [/mm] = 1,845036016
n = 15,6167...
Viele Grüße
Josef
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danke euch,
@Josef, danke für das plausible umstellen ...
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