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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Do 23.07.2015 | | Autor: | magics |
| Aufgabe | Um die Dichte von Goldbarren zu berechnen diene die folgende Tabelle:
Größe | gemessener Wert | rel. Fehlerschranke
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Länge L | 68 [mm] \pm [/mm] 0,5mm | 0,0074
Breite B | [mm] 40\pm [/mm] 0,5mm | 0,013
Höhe H | [mm] 28\pm [/mm] 0,5mm | 0,021
Masse M | 1070 [mm] \pm [/mm] 5g | 0,0047
Man berechne die absolute Fehlerschranke. |
Hallo,
Für die Dichte D = [mm] \bruch{M}{L * B * H} [/mm] ergibt sich mit den gemessenen Näherungswerten
D = [mm] \bruch{1070}{68 * 40 * 28} g/mm^3 \approx [/mm] 16,4 [mm] g/mm^3
[/mm]
Bis hier hin ist alles ok. Jetzt möchte ich die relative Fehlerschranke für D berechnen und benutze dazu die folgenden beiden Regeln:
Regel I:
Der relative Fehler eines Produkts ist im Normalfall (bei kleinen Fehern) ungefähr gleich der Summe der relativen Fehler der Faktoren.
Regel II:
Der relative Fehler eines Reziprokwertes [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist im Normalfall (bei kleinen Fehlern) ungefähr gleich dem realtiven Fehler in x mit dem umgekehrten Vorzeichen.
Für D habe ich nach Regel I ja 4 Faktoren:
D = [mm] \bruch{M}{1} [/mm] * [mm] \bruch{1}{L} [/mm] * [mm] \bruch{1}{B} [/mm] * [mm] \bruch{1}{H}
[/mm]
Für den relativen Fehler [mm] p_{D} [/mm] ergäbe sich also nach I und II:
[mm] p_{D} [/mm] = [mm] p_{M} [/mm] + [mm] p_{-L} [/mm] + [mm] p_{-B} [/mm] + [mm] p_{-H} [/mm] = 0,0074 - 0,013 - 0,021 - 0,0047
Die Lösung sagt aber:
[mm] p_{D} [/mm] = [mm] p_{M} [/mm] + [mm] p_{L} [/mm] + [mm] p_{B} [/mm] + [mm] p_{H} [/mm] = 0,0074 + 0,013 + 0,021 + 0,0047
Dann verstehe ich Regel II aber nicht. Regel II heißt: Reziproke Werte werden wie "nicht-reziproke" behandelt und das Vorzeichen umgedreht...?
Vielleicht kann jemand Licht ins Dunkle bringen :)
lg
magics
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 23.07.2015 | | Autor: | magics |
Ok, jetzt bin ich komplett verwirrt.
Ich habe das nochmal mit der folgenden Formel nachgerechnet:
[mm] \Delta [/mm] D = | [mm] \bruch{\partial D}{\partial M} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] M + | [mm] \bruch{\partial D}{\partial L} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] L + | [mm] \bruch{\partial M}{\partial B} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] B + | [mm] \bruch{\partial D}{\partial H} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] H
Ich komme auf ein komplett anderes Ergebnis:
| [mm] \bruch{\partial D}{\partial M} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] M = | [mm] \bruch{1}{L * B * H} [/mm] | * 5 = [mm] 6,565*10^{-5}
[/mm]
| [mm] \bruch{\partial D}{\partial L} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] L = | - [mm] \bruch{M}{L^2 * B * H} [/mm] | * 0,5 = [mm] 1,03304*10^{-4}
[/mm]
| [mm] \bruch{\partial D}{\partial B} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] B = | - [mm] \bruch{M}{L * B^2 * H} [/mm] | * 0,5 = [mm] 2,508*10^{-4}
[/mm]
| [mm] \bruch{\partial D}{\partial H} [/mm] | * [mm] \Delta [/mm] H = | - [mm] \bruch{M}{L * B * H^2} [/mm] | * 0,5 = [mm] 1,756*10^{-4}
[/mm]
Das zusammengerechnet:
[mm] 6,565*10^{-5} [/mm] + [mm] 1,03304*10^{-4} [/mm] + [mm] 2,508*10^{-4} [/mm] + [mm] 1,756*10^{-4} [/mm] = [mm] 5,95*10^{-4} \bruch{g}{mm^3} [/mm]
Hier nochmal das Ergebnis aus der Musterösung:
[mm] \Delta D_{relativer} [/mm] = [mm] \Delta [/mm] M + [mm] \Delta [/mm] L + [mm] \Delta [/mm] B + [mm] \Delta [/mm] H = 0,046
[mm] \Delta D_{relativer} [/mm] * D = 0,76 [mm] \bruch{g}{cm^3} [/mm]
Wieso stimmen die beiden Methoden nicht über ein?
lg magics
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:09 Sa 25.07.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. da du [mm] \pm [/mm] Fehler hast rechnet man Fehler immer absolut. nur wenn du weisst dass etwas sicher nach oben bis zu 1% abweicht. dann weicht das Reziproke nach unten um ca 1% ab. also i.A, relative Fehler beim multiplizieren und dividieren immer addieren.
im 2. Post seh ich nicht, wie du auf die 0,76 kommst, D selbst ist ja viel kleiner.
die beiden methoden stimmen immer nur gerundet ueberein, nicht in den N.achkommastellen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:13 So 26.07.2015 | | Autor: | magics |
Jau ich hab da noch ein paar andere Aufgaben gerechnet... ich benutze im Zweifelsfalle jetzt immer diese Formel mit der partielle DIfferentiation... scheint mir am sichersten.
lg
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Nimm als Beispiel den Quotienten [mm] A=\bruch{x}{y}, [/mm] wobei x und x beide den relativen Fehler 2 % haben.
Beispiel: x=180, y = 30, A=3.
Weichen nun beide 2 % nach oben ab, so ergibt sich [mm] A=\bruch{x*1,02}{y*1,02} =\bruch{x}{y}=3, [/mm] also kein Fehler. Der eine Fehler macht ein Plus, der andere ein entsprechendes Minus, sie heben einander auf.
Du weißt aber nicht, ob die Fehler jeweils nach oben oder unten bzw. gleich- oder gegensinnig ablaufen. Bei (in diesem Beispiel: Quotient) gegensinnigen Fehlern ergibt sich hier
[mm] A=\bruch{x*1,02}{y*0,98}= [/mm] 3*1,0408... und damit ca. 4 Prozent Fehler, ebenso bei [mm] A=\bruch{x*0,98}{y*1,02}=3*0,96078...
[/mm]
Da man nicht weiß, in welche Richtung die Fehler gehen, geht man vom ungünstigsten Fall aus und addiert die Absolutwerte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 So 26.07.2015 | | Autor: | magics |
Ah ich habs verstanden. Danke dir! :)
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