Relative Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mi 01.05.2013 | | Autor: | xts |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die relativen Extremwerte der Funktion z=( y − [mm] x^2 [/mm] ) * exp(-2y) |
Ich weiß, dass ich die Funktion auf die notwendige Bedingung [mm] f_x (x_0;y_0) [/mm] = 0 und [mm] f_y (x_0;y_0) [/mm] = 0 und die hinreichende Bedingung [mm] \Delta [/mm] = [mm] f_{xx} (x_0;y_0) [/mm] * [mm] f_{yy} (x_0;y_0) [/mm] - [mm] {f_{xy}}^2 (x_0;y_0) [/mm] > 0
Dazu habe ich die Ableitungen gebildet:
[mm] f_x [/mm] = - 2x * exp(-2y)
[mm] f_{xx} [/mm] = 2*exp(-2y)
[mm] f_y [/mm] = exp(-2y) -2 (y - [mm] x^2) [/mm] * exp(-2y)
[mm] f_{yy} [/mm] = -4 * exp(-2y) +4 * (y - [mm] x^2) [/mm] * exp(-2y)
[mm] f_{xy} [/mm] = [mm] f_{yx} [/mm] = 4x * exp (-2y)
Allerdings hänge ich jetzt wie das mit dem =0 funktionieren soll. Laut Lösung wäre x=0 und y=0,5 da komme ich beim bessen Willen nicht hin.
Wenn ich davon ausgehe, dass exp(-2y) [mm] \not= [/mm] 0 ist bekomme ich für [mm] f_x [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x=2 und für [mm] f_y [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow y=x^2 [/mm] .
Wo ist der Knoten in meinem Hirn?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mi 01.05.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bestimmen Sie die relativen Extremwerte der Funktion z=( y
> − [mm]x^2[/mm] ) * exp(-2y)
> Ich weiß, dass ich die Funktion auf die notwendige
> Bedingung [mm]f_x (x_0;y_0)[/mm] = 0 und [mm]f_y (x_0;y_0)[/mm] = 0 und die
> hinreichende Bedingung [mm]\Delta[/mm] = [mm]f_{xx} (x_0;y_0)[/mm] * [mm]f_{yy} (x_0;y_0)[/mm]
> - [mm]{f_{xy}}^2 (x_0;y_0)[/mm] > 0
>
> Dazu habe ich die Ableitungen gebildet:
>
> [mm]f_x[/mm] = - 2x * exp(-2y)
> [mm]f_{xx}[/mm] = 2*exp(-2y)
>
> [mm]f_y[/mm] = exp(-2y) -2 (y - [mm]x^2)[/mm] * exp(-2y)
> [mm]f_{yy}[/mm] = -4 * exp(-2y) +4 * (y - [mm]x^2)[/mm] * exp(-2y)
>
> [mm]f_{xy}[/mm] = [mm]f_{yx}[/mm] = 4x * exp (-2y)
>
> Allerdings hänge ich jetzt wie das mit dem =0
> funktionieren soll. Laut Lösung wäre x=0 und y=0,5 da
> komme ich beim bessen Willen nicht hin.
>
> Wenn ich davon ausgehe, dass exp(-2y) [mm]\not=[/mm] 0 ist bekomme
> ich für [mm]f_x[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x=2 und für [mm]f_y[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow y=x^2[/mm] .
exp(-2y) [mm]\not=[/mm] 0 ist ok,
aber die nächste Folgerung stimmt nicht.
Wenn [mm]f_x[/mm] = - 2x * exp(-2y) ist,
so ist [mm] $f_x$ [/mm] genau dann 0, wenn x = 0.
Mit x = 2 ist -2*x = -4.
Für [mm] $f_y [/mm] = 0$ kannst Du dann von x = 0 ausgehen.
(weil sonst [mm] $f_x$ [/mm] nicht 0 ist) und
exp(-2y) -2 (y - 0) * exp(-2y) = 0
durch exp(-2y) teilen, da ungleich 0.
>
> Wo ist der Knoten in meinem Hirn?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Mi 01.05.2013 | | Autor: | xts |
Cool danke, ich hab mir schon gedacht, dass ich da mal wieder auf der Leitung gestanden habe.
Habe das so gemacht und dann komme ich auch auf y= [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Wenn ich x und y jetzt in die hinreichende Bedingung einsetze erhalte ich
[mm] \Delta [/mm] = 2 * [mm] e^{-1} [/mm] -4 * [mm] e^{-1} [/mm] + 2 * [mm] e^{-1} [/mm] = 0
Dies ist ja ein "Sonderfall", sprich es kann keine Aussage darüber getroffen werden, ob es sich um einen relativen Extremwert handelt.
Muss ich jetzt trotzdem noch die z-Koordinate berechnen oder an etwas anderes denken?
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Hallo xts,
> Cool danke, ich hab mir schon gedacht, dass ich da mal
> wieder auf der Leitung gestanden habe.
>
> Habe das so gemacht und dann komme ich auch auf y=
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wenn ich x und y jetzt in die hinreichende Bedingung
> einsetze erhalte ich
>
> [mm]\Delta[/mm] = 2 * [mm]e^{-1}[/mm] -4 * [mm]e^{-1}[/mm] + 2 * [mm]e^{-1}[/mm] = 0
>
> Dies ist ja ein "Sonderfall", sprich es kann keine Aussage
> darüber getroffen werden, ob es sich um einen relativen
> Extremwert handelt.
>
[mm]f_{xy}[/mm] verschwindet doch an der Stelle des Extremums.
> Muss ich jetzt trotzdem noch die z-Koordinate berechnen
> oder an etwas anderes denken?
>
Auf jeden Fall ist die z-Koordinate zu berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 Mi 01.05.2013 | | Autor: | xts |
Was meinst du mit [mm] f_{xy} [/mm] verschwindet an der Stelle des Extremums?
[mm] {f_{xy}}^2 [/mm] = 0, aber ich dachte das [mm] \Delta [/mm] bezieht sich auf den ganzen Term [mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] - [mm] {f_{xy}}^2 [/mm] > 0
[mm] \Delta [/mm] < 0 wäre ja ein Sattelpunkt und
[mm] \Delta [/mm] > 0 ein relativer Extremwert somit wäre
[mm] \Delta [/mm] = 0 weder Sattelpunkt noch Extrremwert
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Hallo xts,
> Was meinst du mit [mm]f_{xy}[/mm] verschwindet an der Stelle des
> Extremums?
[mm]f_{xy}[/mm] trägt zur Berechnung von [mm]\Delta[/mm] nichts bei.
> [mm]{f_{xy}}^2[/mm] = 0, aber ich dachte das [mm]\Delta[/mm] bezieht sich auf
> den ganzen Term [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] - [mm]{f_{xy}}^2[/mm] > 0
>
Das ist ja auch richtig.
> [mm]\Delta[/mm] < 0 wäre ja ein Sattelpunkt und
> [mm]\Delta[/mm] > 0 ein relativer Extremwert somit wäre
> [mm]\Delta[/mm] = 0 weder Sattelpunkt noch Extrremwert
Gruss
MathePower
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