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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Sa 02.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | [mm] w=f(x,y,z)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)(z-2)^2-14y
[/mm]
Bestimmen sie alle lokalen Extrempunkte (sowie deren Art) von f |
Mit 2 Variablen habe ich das schon oft gemacht, aber jetzt mit 3 Variablen habe ich doch so meine Probleme.
Zu Beginne stelle ich erst die partiellen Ableitungen auf
[mm] f_x=2(x+y)+2(x+1) [/mm]
[mm] f_x_x=4 [/mm]
[mm] f_x_y=2
[/mm]
[mm] f_x_z=0
[/mm]
[mm] f_y=2(x+y)+(z-2)^2-14
[/mm]
[mm] f_y_y=2
[/mm]
[mm] f_y_x=2
[/mm]
[mm] f_y_z=2(z-2)
[/mm]
[mm] f_z=2(y+1)(z-2)
[/mm]
[mm] f_z_z=2y+2
[/mm]
[mm] f_z_x=0
[/mm]
[mm] f_z_y=2z-4
[/mm]
jetzt muss man doch zuerst diese Bedingung erfüllen:
[mm] f_x=2(x+y)+2(x+1)=0
[/mm]
[mm] f_y=2(x+y)+(z-2)^2-14=0
[/mm]
[mm] f_z=2(y+1)(z-2)
[/mm]
Hier fängt bei mir das Problem schon an. Ich komme auf keine passenden Werte für x,y,z
Naja,
wenn diese Problem erstmal gelöst ist, würde ich dann diese Matrix aufstellen [mm] \pmat{ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 &2z-4 \\0 & 2z-4 & 2y+2}
[/mm]
Gelten hier dann die gleichen Bedingungen wie für 2 Variablen:
det(A)>0 relativs Maximum bzw Minimum
dat(A) < Sattelpunkt
oder auch
M1 und M2 die Hauptminoren von Hf (x0).
(a) M2 < 0 ⇒ x0 ist Sattelpunkt
(b) M2 > 0 und M1 > 0 ⇒ x0 ist lokales Minimum
(c) M2 > 0 und M1 < 0 ⇒ x0 ist lokales Maximum
(d) M2 = 0 ⇒ Keine Aussage möglich
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Hallo marc1001,
> [mm]w=f(x,y,z)=(x+y)^2+(x+1)^2+(y+1)(z-2)^2-14y[/mm]
> Bestimmen sie alle lokalen Extrempunkte (sowie deren Art)
> von f
> Mit 2 Variablen habe ich das schon oft gemacht, aber jetzt
> mit 3 Variablen habe ich doch so meine Probleme.
>
> Zu Beginne stelle ich erst die partiellen Ableitungen auf
>
> [mm]f_x=2(x+y)+2(x+1)[/mm]
> [mm]f_x_x=4[/mm]
> [mm]f_x_y=2[/mm]
> [mm]f_x_z=0[/mm]
>
> [mm]f_y=2(x+y)+(z-2)^2-14[/mm]
> [mm]f_y_y=2[/mm]
> [mm]f_y_x=2[/mm]
> [mm]f_y_z=2(z-2)[/mm]
>
> [mm]f_z=2(y+1)(z-2)[/mm]
> [mm]f_z_z=2y+2[/mm]
> [mm]f_z_x=0[/mm]
> [mm]f_z_y=2z-4[/mm]
>
> jetzt muss man doch zuerst diese Bedingung erfüllen:
>
> [mm]f_x=2(x+y)+2(x+1)=0[/mm]
> [mm]f_y=2(x+y)+(z-2)^2-14=0[/mm]
> [mm]f_z=2(y+1)(z-2)[/mm]
>
> Hier fängt bei mir das Problem schon an. Ich komme auf
> keine passenden Werte für x,y,z
Beginne hier z.B. mit
[mm]f_{z}=2*\left(y+1\right)*\left(z-2\right)=0[/mm]
Hieraus folgen nun 2 Fälle:
i) y+1=0
ii) z-2=0
Jeden dieser Fälle verfolgst Du nun weiter.
>
> Naja,
> wenn diese Problem erstmal gelöst ist, würde ich dann
> diese Matrix aufstellen [mm]\pmat{ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 &2z-4 \\0 & 2z-4 & 2y+2}[/mm]
>
>
>
> Gelten hier dann die gleichen Bedingungen wie für 2
> Variablen:
>
> det(A)>0 relativs Maximum bzw Minimum
> dat(A) < Sattelpunkt
>
> oder auch
>
> M1 und M2 die Hauptminoren von Hf (x0).
> (a) M2 < 0 ⇒ x0 ist Sattelpunkt
> (b) M2 > 0 und M1 > 0 ⇒ x0 ist lokales Minimum
> (c) M2 > 0 und M1 < 0 ⇒ x0 ist lokales Maximum
> (d) M2 = 0 ⇒ Keine Aussage möglich
>
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Sa 02.10.2010 | | Autor: | marc1001 |
Danke!!
Also ich habe jetzt 3 Punkte die ich Untersuchen muss.
[mm] P_1(0;-1;-2)
[/mm]
[mm] P_2(0:-1;6)
[/mm]
[mm] P_3(22;-15;2)
[/mm]
Jetzt setze ich die Werte in die Martix ein berechne Die Determinante.
Bei mir kommen dann nur Sattelpunkte heraus.
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Hallo marc1001,
> Danke!!
>
> Also ich habe jetzt 3 Punkte die ich Untersuchen muss.
>
> [mm]P_1(0;-1;-2)[/mm]
> [mm]P_2(0:-1;6)[/mm]
> [mm]P_3(22;-15;2)[/mm]
[mm]P_{3}[/mm] stimmt nicht.
>
> Jetzt setze ich die Werte in die Martix ein berechne Die
> Determinante.
>
> Bei mir kommen dann nur Sattelpunkte heraus.
Für die ersten zwei Punkte hast Du da recht.
Gruss
MathePower
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