Relativ prim, Definitionen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mo 01.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo ich hab 2 verschiedene Definitionen von relativ prim(verschiede Bücher/Skripten), sind diese äquivalent?
Def.1:
Es sei R ein kommutativer Ring mit 1.
Man sagt [mm] a_1,..,a_n [/mm] sind relativ prim, wenn aus d gemeinsamer Teiler von [mm] a_1,..,a_n \Rightarrow [/mm] d [mm] \in \IR^{\*}
[/mm]
Def.2:
Man nennt [mm] a_1,..,a_n \in [/mm] R relativ prim, wenn 1 [mm] \in ggT(a_1,..,a_n). [/mm] |
Hallo,
Also ich weiß: Wenn d ein ggT von M ist, so gilt:
ggT(M)= [mm] \{d' \in R | d' \sim d\}
[/mm]
Wobei d' [mm] \sim [/mm] d bedeutet, dass sie assoziert sind.
1 [mm] \in ggT(a_1,..,a_n) \gdw [/mm] d~1 [mm] \gdw [/mm] d|1 [mm] \gdw [/mm] d [mm] \in \IR^{\*}
[/mm]
Nun meine Frage: Ich hab hier ja nur gezeigt, dass ein ggT immer eine Einheit ist aber nicht, dass auch schon nur gemeinsame Teiler eine Einheit sind...Oder?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:00 Di 02.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Hallo ich hab 2 verschiedene Definitionen von relativ
> prim(verschiede Bücher/Skripten), sind diese äquivalent?
>
> Def.1:
> Es sei R ein kommutativer Ring mit 1.
> Man sagt [mm]a_1,..,a_n[/mm] sind relativ prim, wenn aus d
> gemeinsamer Teiler von [mm]a_1,..,a_n \Rightarrow[/mm] d [mm]\in \IR^{\*}[/mm]
>
> Def.2:
> Man nennt [mm]a_1,..,a_n \in[/mm] R relativ prim, wenn 1 [mm]\in ggT(a_1,..,a_n).[/mm]
>
Ja, diese Definitionen sind aequivalent.
> Hallo,
>
> Also ich weiß: Wenn d ein ggT von M ist, so gilt:
> ggT(M)= [mm]\{d' \in R | d' \sim d\}[/mm]
Richtig.
> Wobei d' [mm]\sim[/mm] d
> bedeutet, dass sie assoziert sind.
>
> 1 [mm]\in ggT(a_1,..,a_n) \gdw[/mm] d~1 [mm]\gdw[/mm] d|1 [mm]\gdw[/mm] d [mm]\in \IR^{\*}[/mm]
Richtig.
>
> Nun meine Frage: Ich hab hier ja nur gezeigt,
dass [mm] $1\in ggT(a_1,..,a_n) \gdw ggT(a_1,..,a_n)\subseteq R^{\*}$.
[/mm]
> dass ein ggT
> immer eine Einheit ist aber nicht, dass auch schon nur
> gemeinsame Teiler eine Einheit sind...Oder?
Das verstehe ich nicht so recht.
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Di 02.12.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> dass [mm]1\in ggT(a_1,..,a_n) \gdw ggT(a_1,..,a_n)\subseteq R^{\*}[/mm].
Genau, ich hab gezeigt, dass alle ggT Einheiten vom Ring sind.
Aber in der einen Definition von relativ prim steht, dass wenn d
gemeinsamer Teiler von [mm] a_1,..,a_n [/mm] dann ist d [mm] \in \IR^{*} [/mm] Hier steht also, dass alle gemeinsamen Teiler eine Einheit sind und wir haben ja nur gezeigt, dass die ggT immer Einheiten bilden, also eine schäwchere Aussage?
Ich hoffe du verstehst meine Bedenken.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Di 02.12.2014 | | Autor: | hippias |
Ich hoffe, ich kann Deine Bedenken, die ich verstehe, zerstreuen.
Sei also $d$ ein gemeinsamer Teiler und $d'$ ein ggT. Du hast gezeigt, dass $d'$ eine Einheit ist. Welcher Zusammenhang besteht aber nach Definition zwischen gemeinsamen und groessten gemeinsamen Teilern? Daraus laesst sich schlussfolgern, dass auch $d$ eine Einheit ist. Hoffentlich ist das nicht zu mysterioes ausgedrueckt.
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