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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
| Aufgabe | Aufgabe
Eine zweistellige Relation R über einer Menge M heißt irreflexiv, falls es kein Element x $ [mm] \varepsilon [/mm] $ M gibt, mit (x,x) $ [mm] \varepsilon [/mm] $ R. Welche der folgenden Aussagen gelten für zweistellige Relationen? Beweisen Sie Ihre Antworten!
a) Jede Relation, die nicht symmetrisch ist, ist irreflexiv.
b) Jede irreflexive Relation ist nich symmetrisch.
c) Jede antisymmetrische Relation ist nicht symmetrisch.
d) Jede transitive irreflexive Relation ist nicht symmetrisch. |
Also ich habe da folgendes Problem: ist (a,a) reflexiv und gleichzeitig symetrisch?
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Hallo,
> Aufgabe
> Eine zweistellige Relation R über einer Menge M heißt
> irreflexiv, falls es kein Element x [mm]\varepsilon[/mm] M gibt, mit
> (x,x) [mm]\varepsilon[/mm] R. Welche der folgenden Aussagen gelten
> für zweistellige Relationen? Beweisen Sie Ihre Antworten!
>
> a) Jede Relation, die nicht symmetrisch ist, ist
> irreflexiv.
> b) Jede irreflexive Relation ist nich symmetrisch.
> c) Jede antisymmetrische Relation ist nicht symmetrisch.
> d) Jede transitive irreflexive Relation ist nicht
> symmetrisch.
> Also ich habe da folgendes Problem: ist (a,a) reflexiv und
> gleichzeitig symetrisch?
Nein, Symmetrie bedeutet, dass für alle , also für beliebige [mm] $(a,b)\in M\times [/mm] M$ gilt: [mm] $(a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in [/mm] R$
Also nicht nur für $b=a$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
Dann müsste (a,a) doch aber gleichzeitig antisymetrisch und reflexiv sein ? Richtig?
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Hi [mm] Kar_o,
[/mm]
> Dann müsste (a,a) doch aber gleichzeitig antisymetrisch und
> reflexiv sein ? Richtig? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das kapier' ich nicht. Die Begriffe (Anti-)Symmetrie, Reflexivität usw. beziehen sich doch auf RELATIONEN über ner Grundmenge M bzw. dem kart. Produkt
[mm] $M\times [/mm] M$
Hier steht nur ein Paar [mm] $(a,a)\in M\times [/mm] M$
Das sagt so gar nix aus.
Beschreib mal genauer, was du meinst...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
kannst du dir die Aufgabenstellung vielleicht mal komplett ansehen ich hab da absolut keinen Plan.
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Hallo nochmal,
mal ne Idee zur 1. Aufgabe:
ich denke, da kann man ein Gegenbsp finden, die Aussage gilt also nicht
Dazu müssen wir eine Relation R finden, die zwar nicht symmetrisch ist, aber nicht irreflexiv
Was heißt R ist nicht symmetrisch?
[mm] $\exists (x,y)\in M\times [/mm] M : [mm] (x,y)\in R\wedge (y,x)\notin [/mm] R$
Was heißt nicht irreflexiv?
[mm] $\exists x\in [/mm] M : [mm] (x,x)\in [/mm] R$
Versuch's mal mit der "Kleiner-gleich-Relation"
Nimm als M die natürlichen Zahlen [mm] \IN [/mm] und definiere R so:
[mm] $(x,y)\in R\gdw x\le [/mm] y$
Anmerkung:
Die [mm] \le [/mm] - Relation ist nicht nur nicht irreflexiv, sie ist sogar reflexiv. Warum?
Zeige das mal, danach schauen wir weiter... 
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
wenn M = [mm] \{ 1, 2\}dann [/mm] müsste doch [mm] R=\{ (1,1), (1,2)\} [/mm] richtig sein oder?
und für 2. [mm] R=\{ (1,2), (2,1)\} [/mm]
und für 3. R [mm] =\{ (1,1), (2,2)\}
[/mm]
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Hallo,
> wenn M = [mm] \{ 1, 2\}dann [/mm] müsste doch [mm] R=\{ (1,1), (1,2)\red{,(2,2)}\} [/mm]
> richtig sein oder?
wenn R die o.a. [mm] \le [/mm] - Relation ist, stimmt das fast, du hast die (2,2) vergessen.
Man sieht das Ding ist nicht symmetrisch, denn zu (1,2) "fehlt" der "Partner" (2,1) und auch nicht irreflexiv, denn (1,1) und (2,2) sind auch drin.
> und für 2. [mm]R=\{ (1,2), (2,1)\}[/mm]
>
> und für 3. R [mm]=\{ (1,1), (2,2)\}[/mm]
welche Relationen sind denn hier gemeint?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:39 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
ich dachte eigentlich auch an M={1,2}
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jojo, dachte ich mir schon, aber bzgl. welcher Relation R?
die [mm] \le [/mm] - Relation kanns ja nicht sein, wie sollte da (2,1) drin sein, wie es in deiner 2. Menge steht?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Kar_o |
achso dann müsste ich bei 1. also noch schreiben
R:={x,y|x [mm] \le [/mm] y [mm] \in \IN [/mm] } oder?
und bei 2. mmh irgendwie hab ich keine Ahnung wonach ich da gehen soll
ne stimmt nicht ich weiß es theoretisch schon aber ich aber mir ist noch keine Lösung eingefallen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo [mm] Kar_o,
[/mm]
sei M eine Menge. JEDE Teilmenge (selbst die leere) von $M [mm] \times [/mm] M$ ist eine Relation.
Dein Beispiel mit M := {1, 2} und R := {(1,1), (1,2)} ist also völlig korrekt !!
Dieses R ist weder symmetrisch noch irreflexiv, widerlegt also Behauptung a.)
Es besteht keine Notwendigkeit, R durch irgendeine Standardbeziehung, wie von schachuzipus angeregt, zu definieren.
Die einfache Angabe einer Menge tut es auch.
> und für 2. $ [mm] R=\{ (1,2), (2,1)\} [/mm] $
Dieses Beispiel widerlegt korrekt Behauptung b.)
> und für 3. R $ [mm] =\{ (1,1), (2,2)\} [/mm] $
Dieses Beispiel widerlegt korrekt Behauptung c.), denn hier ist R symmetrisch und antisymmetrisch zugleich.
Das war sehr schön bis jetzt, fehlt nur noch deine Lösung zu d.)
Gruß
Will
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Hallo nochmal,
ich denke, die letzte Aussage stimmt.
Versuchen wir einen Beweis:
Sei R eine transitive und irreflexive Relation auf einer Menge M.
zu zeigen ist : R ist nicht symmetrisch.
Das machen wir indirekt:
Annahme: R ist symmetrisch, dh [mm] $\forall (x,y)\in M\times [/mm] M: [mm] (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in [/mm] R$
Da R transitiv ist, folgt aus [mm] $(x,y)\in R\wedge (y,x)\in [/mm] R$ : [mm] $(x,x)\in [/mm] R$
Das ist aber ein Widerspruch zur Irreflexivität von R
Also ist die Annahme falsch und R ist nicht symmetrisch
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:14 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen schachuzipus,
> Versuchen wir einen Beweis:
>
> Sei R eine transitive und irreflexive Relation auf einer
> Menge M.
>
> zu zeigen ist : R ist nicht symmetrisch.
>
> Das machen wir indirekt:
>
> Annahme: R ist symmetrisch, dh [mm]\forall (x,y)\in M\times M: (x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R[/mm]
>
> Da R transitiv ist, folgt aus [mm](x,y)\in R\wedge (y,x)\in R[/mm] :
> [mm](x,x)\in R[/mm]
Gezeigt ist damit nur: [mm] $(x,y)\in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x,x) [mm] \in [/mm] R$
Du kannst also die Irreflexivität nur vernichten, wenn du irgendein Element in R hast.
Aber was wäre, wenn R leer wäre?
Die leere Relation ist symmetrisch, transitiv und irreflexiv.
LG
Will
PS: Um über so etwas lachen zu können muß man wahrscheinlich Mathematiker sein.
Normale Menschen schütteln hier - mit einer gewissen Berechtigung - nur den Kopf.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Do 01.11.2007 | | Autor: | Kar_o |
Hey Will,
du weißt gar nicht wie glücklich deine Antwort mich macht, weil ich nämlich sdchon kurz vor der Verzweiflung stand.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 01.11.2007 | | Autor: | Kar_o |
Meine Lösung für d wäre das die Aussage:
Jede transitive irreversible Relation ist nicht symmetrisch.
ist richtig, denn für Symmetrie muss gelten [mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,a)\in [/mm] R
und für Transivität muss gelten: [mm] (a,b)\in [/mm] R [mm] (b\c)\in [/mm] R und somit [mm] (a,c)\in [/mm] R
wenn man für folgende in transitiver Beziehung zueinanderstehende Elemente
(a,b), (b,c), (a,c), die symmetrischen Partner sucht würde man (b,a), (c,b) (c,a) finden, diese stehen aber untereinander nicht in transitiver Beziehung. Somit stimmt die Aussage.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Do 01.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
lies bitte nochmal meine Mitteilung zum Beweis von schachuzipus.
Sofern dein Prof. die leere Menge nicht ausdrücklich als Relation ausgeschlossen hat, wird auch diese Aussage d.) nicht gelten.
Gruß
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 01.11.2007 | | Autor: | Kar_o |
na ja unser Prof hat irgendwie jetzt erst was dazu gesagt. Also würde es heißen es trifft nur für [mm] R={}=\emptyset [/mm] gelten
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