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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 Do 30.12.2004 | | Autor: | SusPie6 |
Hi ihr,
ich nutze gerade die freie Zeit, um mich für die Prüfungen im Januar und Februar vorzubereiten. Dabei wiederhole ich die Übungsaufgaben, welche wir wöchentlich bekommen haben. Leider komme ich teilweise nicht weiter beziehungsweise bin ich mir nicht sicher, ob meine Gedankengänge richtig sind. Über eure Hilfe würde ich mich wahnsinnig doll freuen.
1. Aufgabe:
Schreiben Sie formal
a) Es gibt höchstens ein x [mm] \in [/mm] M, für das die Aussage p gilt.
b) Es gibt genau ein x [mm] \in [/mm] M, für das die Aussage p gilt.
Ich habe folgende Lösungen:
a) [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M: [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M \ {x} : (nicht) p(y)
b) [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M: p(x) [mm] \wedge \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] M \ {x} : (nicht) p(y)
Geht das denn so???
2. Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Teilerrelation eine Ordnungsrelation ist.
Dazu:
m/n : [mm] \gdw \exists [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] : n=km
(Dies ist ja eine Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlenbereich.)
i) Reflexivität: m/m [mm] \gdw \exists [/mm] 1 [mm] \in \IN [/mm] : m= 1*m
ii) Antisymmetrie: m/n [mm] \wedge [/mm] n/m [mm] \Rightarrow [/mm] m=n
m/n [mm] \gdw \exists [/mm] k1 [mm] \in \IN [/mm] : n=k1m
n/m [mm] \gdw \exists [/mm] k2 [mm] \in \IN [/mm] : m=k2n
n=k1(k2n)=(k1k2)n [mm] \Rightarrow [/mm] k1=k2=1 [mm] \Rightarrow [/mm] n=1*m
m=1*n
m=n
iii) Transitivität: m/n [mm] \wedge [/mm] n/p [mm] \Rightarrow [/mm] m/p
m/n [mm] \gdw \exists [/mm] k1 [mm] \in \IN [/mm] : n=k1m
n/p [mm] \gdw \exists [/mm] k2 [mm] \in \IN [/mm] : p=k2n
p=k2(k1m)=(k1k2)m
m/p.
Und???
3. Aufgabe:
Auf [mm] \IZ [/mm] x ( [mm] \IZ \backslash \{ 0 \} [/mm] sei die Relation [mm] \sim [/mm] definiert durch (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) : [mm] \gdw [/mm] ad=bc. Zeigen Sie, dass [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist.
Dazu habe ich leider keine Ansätze, aber ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir da weiter helfen könntet.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Do 30.12.2004 | | Autor: | moudi |
Zur 1. Aufgabe: Das ist ok.
Zur 3. Aufgabe: Das ist gerade die Aequivalenz von Brüchen wenn man
(a,b) als Bruch [mm]\frac{a}{b}[/mm] interpretiert. Die Aequivalenzklassen
sind dann diejenigen Mengen von Brüche, die die gleiche rationale Zahl liefern.
Mit dieser Interpretation im Kopf sollte es eigentlich nicht so schwierig sein.
mfg Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Do 30.12.2004 | | Autor: | maria |
2.Aufgabe:das ist richtig
3.Aufgabe:
(a,b) mit [mm] b\not=0
[/mm]
(c,d) mit [mm] d\not=0
[/mm]
[mm] \underbrace{(a,b) }_{=x}\sim \underbrace{(c,d)}_{=y}: \gdw [/mm] ad=bc
1. Reflexivität: [mm] x\sim [/mm] x: [mm] (a,b)\sim(a,b):\Rightarrow [/mm] ab=ab
2. Symmetrie: [mm] x\sim [/mm] y [mm] \Rightarrow y\sim [/mm] x: [mm] (a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] ad=bc
[mm] \gdw [/mm] cb=ad
[mm] \gdw (c,d)\sim [/mm] (a,b)
3.Transitivität: [mm] (a,b)\sim [/mm] (c,d) und [mm] (c,d)\sim\underbrace{(e,f)}_{=z...f\not=0} \Rightarrow (a,b)\sim [/mm] (e,f)
1.ad=bc [mm] |*f(\not=0)
[/mm]
2.cf=de [mm] |*b(\not=0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1.adf=bcf
2.bcf=deb
[mm] \Rightarrow adf=deb|/d(\not=0) \Rightarrow [/mm] af=eb [mm] \Rightarrow (a,b)\sim [/mm] (e,f)
Das müsste logisch sein, oder?
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