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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 06.01.2011 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Relation [mm]\sim[/mm] auf [mm] \IZ \times \IZ [/mm]:
[mm]\forall (n_1 , m_1 ), (n_2 ,m_2 ) \in \IZ \times \IZ [/mm] :
[mm] (n_1 , m_1 ) \sim (n_2 ,m_2 ) \gdw n_1 + m_2 = n_2 + m_1[/mm].
(a) Zeigen Sie, dass [mm] \sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] \IZ \times \IZ [/mm] ist.
(b) Sei nun [mm] f: (( \IZ \times \IZ) / \sim)) \to \IZ[/mm] die Abbildung definiert durch [mm] [(a,b)]_{\sim} \mapsto a - b[/mm] .
Zeigen Sie, dass [mm] f [/mm] wohldefiniert und bijektiv ist. |
also:
Teil (a) hab ich hinbekommen. Die Relation ist also reflexiv, symmetrisch und transitiv.
mit Teil (b) hab ich so meine Probleme...
1. Ist mir der Begriff der Wohldefiniertheit nicht so ganz klar.
Ich hab mal bei Wikipedia nachgelesen. Demnach konstruiere ich hier die ganzen Zahlen durch die Abbildung f und muss zeigen, dass es eine Abbildung f gibt und zwar nur genau eine, also Existenz und Eindetigkeit, oder?
Ich denke damit möchte ich anfangen =) [wenn ich das verstanden habe klappt die Bijektivität bestimmt auch]
Problem: Die Verknüpfung aus Äquivalenzrelation und Abbildung!
[mm] [(a,b)]_{\sim} [/mm] ist die Äqivalenzklasse von [mm] (a,b) [/mm].
Da [mm] a, b \in \IZ [/mm] sind kann man die Differenz [mm] a - b[/mm] bilden. Diese Differenz ist immer eindeutig.
Aber das ist ja kein Beweis...
Wie geh ich am besten an die Aufgabe heran?
Ich bin für Hilfe dankbar!!!
Hab da doch ne Idee für die Eindeutigkeit:
wähle [mm] (a,b), (a_1, b_1) \in [(a,b)]_{\sim}[/mm]
dann [mm] f((a,b))=a-b[/mm] und [mm]f((a_1, b_1))=a_1-b_1[/mm]
setze [mm] f((a,b))=f((a_1, b_1))[/mm]
dann [mm] a-b = a_1 - b_1 [/mm]
[mm] \gdw a+b_1 = a_1 +b [/mm] [mm] \Rightarrow (a, b) \sim (a_1 ,b_1 ) [/mm] [mm] \Rightnarrow [(a,b)]_{\sim} = [(a_1 ,b_1 )]_{\sim}[/mm]
Oder ist das Quatsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:55 Fr 07.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Für "wohldefiniert" mußt Du zeigen:
ist $ (a,b) [mm] \sim (a_1, b_1) [/mm] $, so ist [mm] a_1-b_1=a-b
[/mm]
FRED
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Sei gegrüßt, ella!
> 1. Ist mir der Begriff der Wohldefiniertheit nicht so ganz
> klar.
Im Falle einer Funktion, die auf einer Quotientenmenge definiert sein soll, muss man immer prüfen, ob die Definition von der speziellen Wahl eines Repräsentanten aus einer Äquivalenzklasse abhängt oder nicht. Wenn zwei verschiedene Wahlen zum selben Funktionswert führen, ist die Funktion wohldefiniert.
> Hab da doch ne Idee für die Eindeutigkeit:
> wähle [mm](a,b), (a_1, b_1) \in [(a,b)]_{\sim}[/mm]
> dann
> [mm]f((a,b))=a-b[/mm] und [mm]f((a_1, b_1))=a_1-b_1[/mm]
> setze
> [mm]f((a,b))=f((a_1, b_1))[/mm]
> dann [mm]a-b = a_1 - b_1[/mm]
> [mm]\gdw a+b_1 = a_1 +b[/mm]
> [mm]\Rightarrow (a, b) \sim (a_1 ,b_1 )[/mm] [mm]\Rightnarrow [(a,b)]_{\sim} = [(a_1 ,b_1 )]_{\sim}[/mm]
>
> Oder ist das Quatsch?
Nee, das ist kein Quatsch, sondern (fast) der richtige Ansatz: Du musst [mm] (a, b) \sim (a_1 ,b_1 ) \Rightarrow f([a,b])=f([a_1, b_1])[/mm] zeigen. Das geht so, wie Du es vorgerechnet hast. Du musst allerdings - wenn ich recht sehe - die Schlussrichtung umkehren. (Achte auf die eckigen Klammern, den [mm]f[/mm] bildet keine Paare (=Repräsentanten), sondern Äquivalenzklassen ab.)
Hochtachtungsvoll, P. G. L. Dirichlet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Fr 07.01.2011 | | Autor: | ella87 |
Danke, das hat mir zur ersten Aufgabe sehr weiter geholfen.
sorry, dass sollte eine Mitteilung werden. Wollte zuerst eine weitere Aufgabe posten, mach das aber lieber seperat
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