matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMengenlehreRelation der Rechtecke
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Mengenlehre" - Relation der Rechtecke
Relation der Rechtecke < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Relation der Rechtecke: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 So 22.04.2012
Autor: MaxPlanck

Aufgabe
Sei M die Menge aller Rechtecke (auch solche, die degeneriert sind). Wir erklären zwei Relationen auf M:
U: Zwei Rechtecke stehen in Relation genau dann, wenn ihre Umfänge  gleich sind.
A: Zwei Rechtecke stehen in Relation genau dann, wenn ihre Flächen gleich sind.

Zeige, dass U und A Äquivalenzrelationen sind. Finde Funktionen [mm] $I_{U}$ [/mm] und [mm] $I_{A}$, [/mm] sodass
[mm] \[I_{U}(R_{1})=I_{U}(R_{2})\] [/mm] genau dann, wenn die beiden Argumente in Relation stehen. Analog [mm] $I_{A}$. [/mm]
Zeige, dass diese Funktionen die Quotientenmengen $M/U$ und $M/A$ mit [mm] $\IR_{+}\cup\{0}$ [/mm] identifizieren. Konstruiere Repräsentanten jeder Restklasse in [mm] \[M/A\] [/mm] und $M/U$.

Zu zeigen, dass es sich in beiden Fällen um Äquivalenzrelationen handelt ist nicht schwer, das folgt aus den Eigenschaften von der Gleichheit =. Bei der Wahl der Funktionen und dem Rest der Aufgabe scheitere ich allerdings gerade. Wie konstruiere ich eine Funktion von [mm] \[R_{1}\]? [/mm]
Um zu zeigen, dass diese Funktionen die Quotientenmengen mit
[mm] \[ \IR\cup\{0\}\] [/mm] identifizieren, muss ich zeigen, dass es sich um Bijektionen handelt. Das kann ich erst, wenn ich diese Funktionen habe...
Danke schon mal

        
Bezug
Relation der Rechtecke: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:19 So 22.04.2012
Autor: Leopold_Gast

Bei der Überprüfung, ob Äquivalenzrelationen vorliegen, mußt du diese Funktionen implizit schon benutzt haben:

[mm]I_U,\, I_A: \ M \to [0,\infty) \ ; \ \ I_U(R) = \text{Umfang von} \ R \, , \ \ I_A(R) = \text{Inhalt von} \ R[/mm]

Jede reelle Zahl [mm]u \geq 0[/mm] repräsentiert sozusagen eine Äquivalenzklasse von [mm]U[/mm], nämlich alle Rechtecke, deren Umfang gerade [mm]u[/mm] ist, die Äquivalenzklassen sind also die Urbilder der [mm]u[/mm] unter [mm]I_U[/mm]:

[mm]M/U = \left\{ \, {I_U}^{-1}(u) \, \left| \ u \in [0,\infty) \right. \right\}[/mm]

Und mit [mm]M/A[/mm] und [mm]I_A[/mm] geht es genau so.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]