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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 26.02.2008 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo!
Habe ein paar Probleme bei folgender Aufgabe:
Es seien A={a,c} und B={b,c} zweielementige Mengen mit dem gemeinsamen Element c. R= A x A [mm] \cup [/mm] B x B ist dann eine Relation auf A [mm] \cup [/mm] B. |
a) Stellen Sie R durch Angabe ihrer Elemente, Matrix und Graph dar.
also zunächst hab ich mich natürlich gefragt, welche Elemente denn A [mm] \cup [/mm] B nun hat.
Also: A x A ={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} und
B x B={(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)}
Und A [mm] \cup [/mm] B = {(a,a),(a,c),(c,a),(c,c),(b,b),(b,c),(c,b)}
Darstellung als Matrix und Graph: siehe Bildanhang:
[Dateianhang nicht öffentlich]
b) Ist R eine Äquivalenzrelation (mit Begründung)?
Es muss also geprüft werden, ob R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
R reflexiv:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] (x,x) [mm] \in [/mm] R
Also: R={(x,x)}.
Das ist offensichtlich erfüllt, denn es gilt ja für jedes Element in R. Es gibt ja (a,a), (b,b) und (c,c). Also isr R reflexiv.
Wie kann ich das genauer zeigen? Oder ist das so in Ordnung?
R symmetrisch:
Zu jedem (x,y) [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] (y,x) [mm] \in [/mm] R
Hier weiß ich gerade nicht weiter, denn es gilt zwar (a,c) und (c,a) sowie (b,c) und (c,b) aber es gibt ja kein (a,b) und (b,a). Wie muss ich denn hier vorgehen?
R transitiv:
Falls (x,y) [mm] \in [/mm] R und (y,z) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] (x,z) [mm] \in [/mm] R
Auch hier denk ich, dass Transitivität erfüllt ist, denn es gilt ja z.B. (a,a) [mm] \in [/mm] R und (a,c) [mm] \in [/mm] R -> (c,a) [mm] \in [/mm] R
Aber wie kann ich das jetzt allgemein beschreiben?
Wer kann mir bei dieser Aufgabe helfen?
Gruß, Ralf
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Di 26.02.2008 | | Autor: | statler |
Mahzeit Ralf!
> Habe ein paar Probleme bei folgender Aufgabe:
>
> Es seien A={a,c} und B={b,c} zweielementige Mengen mit dem
> gemeinsamen Element c. R= A x A [mm]\cup[/mm] B x B ist dann eine
> Relation auf A [mm]\cup[/mm] B.
> a) Stellen Sie R durch Angabe ihrer Elemente, Matrix und
> Graph dar.
>
> also zunächst hab ich mich natürlich gefragt, welche
> Elemente denn A [mm]\cup[/mm] B nun hat.
> Also: A x A ={(a,a),(a,c),(c,a),(c,c)} und
> B x B={(b,b),(b,c),(c,b),(c,c)}
>
> Und A [mm]\cup[/mm] B = {(a,a),(a,c),(c,a),(c,c),(b,b),(b,c),(c,b)}
Das ist falsch, weil das nicht A [mm]\cup[/mm] B ist, sondern R. A [mm]\cup[/mm] B hat 3 Elemente und besteht nicht aus geordneten Paaren.
> Darstellung als Matrix und Graph: siehe Bildanhang:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
Wenn ihr das so macht, könnte das richtig sein.
> b) Ist R eine Äquivalenzrelation (mit Begründung)?
>
> Es muss also geprüft werden, ob R reflexiv, symmetrisch und
> transitiv ist.
>
> R reflexiv:
> [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] (x,x) [mm] \in [/mm] R
> Also: R={(x,x)}.
Das ist falsch hingeschrieben. Richtig wäre nach meinem Dafürhalten
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B: (x,x) [mm] \in [/mm] R
Also: {(x,x)|x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B} [mm] \subset [/mm] R.
> Das ist offensichtlich erfüllt, denn es gilt ja für jedes
> Element in R. Es gibt ja (a,a), (b,b) und (c,c). Also isr R
> reflexiv.
Anschaulich heißt reflexiv, daß alle Paare mit gleichen Einträgen in R liegen müssen, und das ist erfüllt.
> Wie kann ich das genauer zeigen? Oder ist das so in
> Ordnung?
In diesem Fall kannst du die Reflexivität durch Aufzählen der betreffenden El. beweisen, also OK.
> R symmetrisch:
> Zu jedem (x,y) [mm]\in[/mm] R [mm]\exists[/mm] (y,x) [mm]\in[/mm] R
Das sollte man als 'wenn-dann'-Aussage schreiben.
> Hier weiß ich gerade nicht weiter, denn es gilt zwar (a,c)
> und (c,a) sowie (b,c) und (c,b) aber es gibt ja kein (a,b)
> und (b,a). Wie muss ich denn hier vorgehen?
Eben drum die 'wenn-dann'-Formulierung: Eine Implikation ist dann wahr, wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist. wenn also (a,b) nicht in R liegt, ist es unerheblich, ob (b,a) in R liegt.
> R transitiv:
> Falls (x,y) [mm]\in[/mm] R und (y,z) [mm]\in[/mm] R [mm]\Rightarrow[/mm] (x,z) [mm]\in[/mm] R
>
> Auch hier denk ich, dass Transitivität erfüllt ist, denn es
> gilt ja z.B. (a,a) [mm]\in[/mm] R und (a,c) [mm]\in[/mm] R -> (c,a) [mm]\in[/mm] R
Das denke ich mal eben nicht. Es ist (a,c) in R und (c,b) in R, aber was ist mit (a,b)?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Di 26.02.2008 | | Autor: | RalU |
Vielen Dank für deine Hilfe.
Oben muss es natürlich heißen: R=A x A [mm] \cup [/mm] B X B = ...
wie du richtig sagtest.
Ok, es handelt sich also um keine Äquivalenzrelation, weil R nicht transitiv ist.
Gruß, Ralf
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