Relation: antisymmetrisch < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mi 04.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A: (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] a=b$ |
Dies ist die weit verbreitet Definition welche heißen soll: Wenn keine Symmetrie herrscht und aus a~b und b~a stets a=b folgt ist es antisymmetrisch.
Mir fehlt bei der Definition irgendwie dieses "nicht Symmetrisch". Sollte man nicht folgendes schreiben:
[mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A: ((a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] a [mm] \not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \notin [/mm] R) [mm] \underline{\vee} [/mm] ((a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] (b,a) [mm] \in [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] a=b)$
Oder nur:
[mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A: (a,b) [mm] \in [/mm] R [mm] \wedge [/mm] a [mm] \not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] (b,a) [mm] \notin [/mm] R$
Da wird es doch viel deutlicher.
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Hiho,
was du machst, ist einfach logisch Äquivalente Definitionen aufzuschreiben, im letzten Fall eine Art Kontraposition.
Ob das jetzt schöner ist, bleibt jedem sich selbst überlassen.
Da es aber das gleiche aussagt, ist es egal, wie du es aufschreibst.
Im ersten Fall heisst es ja einfach nur:
Wenn [mm] $a\sim [/mm] b$ UND [mm] $b\sim [/mm] a$ gilt, folgt daraus direkt, dass $a=b$ ist, in Formeln also:
[mm] $a\sim [/mm] b [mm] \wedge b\sim [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] a=b$
Kontraposition: $ [mm] a\not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \not\sim [/mm] b [mm] \vee [/mm] b [mm] \not\sim [/mm] a$
Wie man es nun also aufschreibt, ist Latte wie Hose 
bzw. hängt vom persönlichen Ästetikempfinden ab, allerdings sind Gleichungen etc immer schöner, als Negationen wie [mm] \not= [/mm] oder [mm] \not\sim
[/mm]
MFG,
Gono.
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