Relation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei eine Relation [mm] $\phi:(0,1) \rightarrow \IR$: [/mm]
[mm] $\phi(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{2x} & \mbox{für } 0 < x \le \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2-2x}-1, & \mbox{für } \frac{1}{2}
Es sollen folgende Fälle überprüft werden:
[mm] i)$\phi(x) \le [/mm] 0$, falls [mm] $x\le \frac{1}{2}$, [/mm] und [mm] $\phi(x) [/mm] >0$, falls $x > [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
ii)Zu jeder Zahl $y [mm] \in \IR$ $y\le [/mm] 0$ gibt es genau ein [mm] $x\in (0,\frac{1}{2}]$ [/mm] mit [mm] $y=\phi(x)$
[/mm]
iii)) Zu jeder Zahl $y [mm] \in \IR$ [/mm] $y>0$ gibt es genau ein [mm] $x\in(\frac{1}{2},1)$ [/mm] mit [mm] $y=\phi(x)$ [/mm]
iv) wenn die Abbildung im Intervall (0,1) bijektiv ist, soll darauf geschlossen werden, dass die Menge gleichmächtig zur Menge [mm] $\IR$ [/mm] ist. |
Hallo,
i) stimmen beide, überprüft durch einsetzen von 0,5 und 0,75.
ii) stimmt, gegen null wirds minus unendlich
iii) stimmt, gegen 1 wirds unendlich
Reichen i-iii nicht als Beweis für die Bijektivität, und die Bijektivität als Beweis für die Gleichmächtigkeit?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jeden Hinweis dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Mo 11.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei eine Relation [mm]\phi:(0,1) \rightarrow \IR[/mm]:
Du meinst eine Funktion, oder?
>
> [mm]\phi(x)=\begin{cases} 1-\frac{1}{2x} & \mbox{für } 0 < x \le \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2-2x}-1, & \mbox{für } \frac{1}{2}
>
> Es sollen folgende Fälle überprüft werden:
> i)[mm]\phi(x) \le 0[/mm], falls [mm]x\le \frac{1}{2}[/mm], und [mm]\phi(x) >0[/mm],
> falls [mm]x > \frac{1}{2}[/mm]
> ii)Zu jeder Zahl [mm]y \in \IR[/mm] [mm]y\le 0[/mm]
> gibt es genau ein [mm]x\in (0,\frac{1}{2}][/mm] mit [mm]y=\phi(x)[/mm]
> iii)) Zu jeder Zahl [mm]y \in \IR[/mm] [mm]y>0[/mm] gibt es genau ein
> [mm]x\in(\frac{1}{2},1)[/mm] mit [mm]y=\phi(x)[/mm]
>
> iv) wenn die Abbildung im Intervall (0,1) bijektiv ist,
> soll darauf geschlossen werden, dass die Menge
> gleichmächtig zur Menge [mm]\IR[/mm] ist.
>
> i) stimmen beide, überprüft durch einsetzen von 0,5 und
> 0,75.
Reines Einsetzen reicht hier nicht! Du musst noch mehr argumentieren!
> ii) stimmt, gegen null wirds minus unendlich
Es stimmt schon, aber deine Begruendung hier ist unzureichend.
> iii) stimmt, gegen 1 wirds unendlich
Hier ebenfalls.
Vor allem den "genau ein"-Teil hast du ignoriert, und die Existenz hast du auch nicht wirklich besprochen.
> Reichen i-iii nicht als Beweis für die Bijektivität, und
> die Bijektivität als Beweis für die Gleichmächtigkeit?
Nun, zeige doch mal formal mit (i)--(iii), dass die Funktion bijektiv ist.
Aus der Bijektivitaet folgt die Gleichmaechtigkeit, ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Mo 11.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Womit kann ich denn bei i)-iii) weiter argumentieren als bloss einsetzen? Also ein anderes Mittel als Grenzwert-Betrachtungen?
Danke
|
|
|
| |
|
Guten Abend!
> Womit kann ich denn bei i)-iii) weiter argumentieren als
> bloss einsetzen?
Na, fangen wir mal anders herum an. Mit Einsetzen kannst Du genau dann argumentieren, wenn Du ein Gegenbeispiel zur zu zeigenden Behauptung gefunden hast. Sonst nicht.
Du musst ja zumindestens zeigen, dass die entsprechende Grenze richtig gesetzt ist. Ein davon entfernter Wert kann das ja wohl kaum tun. Versuche mal, Deine Überprüfung allgemeiner zu setzen. Nimm einen beliebigen Wert [mm] x=x_0 [/mm] oder x=s und schau nach, ob es Bedingungen gibt, die die Wahl von [mm] x_0 [/mm] bzw. s irgendwie einschränken. Dann findest Du wohl auch den Beleg für die zu zeigenden Behauptungen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:55 Di 12.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Aber die Bedingungen welche beschränken für die x welche ich einsetzen kann kenne ich ja schon durch die Aufgabenstellung?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Aber die Bedingungen welche beschränken für die x welche
> ich einsetzen kann kenne ich ja schon durch die
> Aufgabenstellung?
Na, umso besser. Oder jedenfalls: das macht doch nichts.
Zeigen musst Du das Verlangte trotzdem allgemeingültiger, als es durch Einsetzen möglich wäre.
Wenn [mm] x>\tfrac{1}{2} [/mm] gefordert ist, dann müsstest Du doch auch überprüfen, ob die darauf gründende Aussage für [mm] \tfrac{65537}{32768} [/mm] auch gilt. Oder überhaupt für [mm] \tfrac{2n+1}{n} [/mm] für beliebig großes n.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:14 Di 12.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Reicht es denn, wenn ich sage dass es eine untere Schranke gibt, welche 0 ist. Und muss ich dann beweisen, dass 0 wirklich die untere Schranke ist?
Danke
|
|
|
| |
|
äh, wovon ist Null eine untere Schranke?
Da bin ich vielleicht gerade zu beschränkt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Di 12.10.2010 | | Autor: | kushkush |
von [mm] $1-\frac{1}{2x}$ [/mm] ??
|
|
|
| |
|
hm. Für x=0,05 ist [mm] \phi(x)=-9.
[/mm]
(ach übrigens: \varphi ergibt das "richtige" kleine [mm] \varphi.)[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Di 12.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich verstehe nicht wie ich diese Bedingung noch "allgemeiner" zeigen kann??
war das so gemeint mit dem [mm] $\frac{2n+1}{n}
[/mm]
[mm] $1-\frac{1}{2x} [/mm] $ mit Bedingung $ [mm] \le \frac{1}{2}$, $1-\frac{1}{2\cdot(\frac{2n+1}{2n})}=1-\frac{1}{\frac{4n+2}{n}}$[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
$ [mm] \varphi \le [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le \frac{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow 1-\frac{1}{2x} \le [/mm] 0
[mm] \Rightarrow \frac{-1}{2x}\le [/mm] -1
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \le [/mm] 2x$
mit [mm] $x\le \frac{1}{2}$
[/mm]
$ -1 [mm] \le [/mm] 2x [mm] \le [/mm] 1$
[mm] $\Rightarrow \frac{-1}{2} \le [/mm] x [mm] \le \frac{1}{2}$ [/mm]
$ [mm] \varphi(x) [/mm] > 0 [mm] \wedge [/mm] x > [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\frac{1}{2-2x}-1 [/mm] > 0 $
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2-2x}>1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] -1 > -2x $
mit $ x > [mm] \frac{1}{2}$: [/mm]
$-1>-2x > -2$
[mm] $\Rightarrow \frac{-1}{2} [/mm] > -x > -1$
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{2} [/mm] < x < 1 $
und weiter zeige ich
für die Bijektivität der beiden ,
dass beide injektiv und surjektiv sind.
Für die Injektivität:
für
[mm] $1-\frac{1}{2x}=1-\frac{1}{2y}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$ , für $y$ nicht $0$.
für
[mm] $\frac{1}{2-2x}-1=\frac{1}{2-2y}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$, wenn $x-1$ nicht $0$ gibt.
Für die Surjektivität:
Definitionsbereich der ersten [mm] Funktion:$\IR\backslash\{0\}$
[/mm]
Umkehrfunktion von [mm] $y=1-\frac{1}{2x}:
[/mm]
[mm] $x=\frac{1}{2-2y}$, [/mm] Definitionsbereich y: [mm] $\IR\backslash \{1\}$ [/mm]
Definitionsbereich der zweiten Funktion: $ [mm] \IR \backslash\{1\}$
[/mm]
Umkehrfunktion von $ [mm] y=\frac{1}{2x-2}-1$:
[/mm]
[mm] $x=\frac{2y+2}{2y+1}, [/mm] für [mm] $\IR\{-1\}$
[/mm]
Also sind die beiden Funktionen im Intervall $[0,1]$ injektiv surjektiv damit auch bijektiv.
Ist das richtig so?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mi 13.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo kushkush,
> $ [mm]\varphi \le[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\le \frac{1}{2}[/mm]
Hier vermischst Du Voraussetzung und was zu zeigen ist.
Also: z.z.: [mm]\varphi \le[/mm] 0 [mm]\wedge[/mm] x [mm]\le \frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 1-\frac{1}{2x} \le[/mm]
> 0
> [mm]\Rightarrow \frac{-1}{2x}\le[/mm] -1
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\le[/mm] 2x$
>
> mit [mm]x\le \frac{1}{2}[/mm]
Deine Überlegungen sind richtig, und als Ansatz gut, aber eigentlich brauchst Du die andere Richtung, d.h. bei jedem [mm]\Rightarrow[/mm]: gilt auch [mm]\Leftarrow[/mm]?
>
> [mm]-1 \le 2x \le 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{-1}{2} \le x \le \frac{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\varphi(x) > 0 \wedge x > \frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\frac{1}{2-2x}-1 > 0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2-2x}>1[/mm]
> [mm]\Rightarrow -1 > -2x[/mm]
>
> mit [mm]x > \frac{1}{2}[/mm]:
>
> [mm]-1>-2x > -2[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{-1}{2} > -x > -1[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{1}{2} < x < 1[/mm]
Hier ist es wie beim ersten Fall.
>
>
> und weiter zeige ich
>
> für die Bijektivität der beiden ,
>
> dass beide injektiv und surjektiv sind.
>
> Für die Injektivität:
>
> für
> [mm]1-\frac{1}{2x}=1-\frac{1}{2y}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=y[/mm] , für [mm]y[/mm] nicht [mm]0[/mm].
>
> für
> [mm]\frac{1}{2-2x}-1=\frac{1}{2-2y}\blue{ -1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=y[/mm], wenn [mm]\blue y-1[/mm] nicht [mm]0[/mm] gibt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Für die Surjektivität:
> Definitionsbereich der ersten Funktion:[mm]\IR\backslash\{0\}[/mm]
> Umkehrfunktion von [mm]$y=1-\frac{1}{2x}:[/mm]
> [mm]x=\frac{1}{2-2y}[/mm], Definitionsbereich y: [mm]\IR\backslash \{1\}[/mm]
Hier bist Du auf dem richtigen Weg, drückst es aber sehr unglücklich aus.
z.z.: Sei [mm]y \in \IR \wedge y \le 0}[/mm], dann gibt es ein [mm]x \in[/mm] (0; [mm]\frac{1}{2}[/mm]) mit [mm]\varphi(x) = y[/mm]
>
> Definitionsbereich der zweiten Funktion: [mm]\IR \backslash\{1\}[/mm]
>
> Umkehrfunktion von [mm]y=\frac{1}{2x-2}-1[/mm]:
> [mm]$x=\frac{2y+2}{2y+1},[/mm] für [mm]$\IR\{-1\}$[/mm]
Hier ist es wie beim ersten Fall.
>
> Also sind die beiden Funktionen im Intervall [mm][0,1][/mm] injektiv
> surjektiv damit auch bijektiv.
>
>
> Ist das richtig so?
>
>
> Danke
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
was bedeutet denn [mm] $\Rightarrow:$ [/mm] ?
Und bei der Surjektivität habe ich die Umkehrfunktionen ja, dann muss ich nur noch sagen, dass diese Umkehrfunktionen auch im Definitionsbereich (also 0 bis 1) liegen, oder?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 13.10.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo,
>
>
> was bedeutet denn [mm]\Rightarrow:[/mm] ?
Damit meinte ich folgendes:
Du schriebst z.B.:
[mm] $1-\frac{1}{2x} \le [/mm] $ 0 $ [mm] \Rightarrow \frac{-1}{2x}\le [/mm] $ -1
du brauchst aber:
$ [mm] 1-\frac{1}{2x} \le [/mm] $ 0 $ [mm] \Leftarrow \frac{-1}{2x}\le [/mm] $ -1
>
> Und bei der Surjektivität habe ich die Umkehrfunktionen
> ja, dann muss ich nur noch sagen, dass diese
> Umkehrfunktionen auch im Definitionsbereich (also 0 bis 1)
> liegen, oder?
Mit dem Begriff "Umkehrfunktionen" wäre ich an der Stelle etwas vorsichtig; lieber das Urbild zu y suchen.
>
>
> Danke.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich bin verwirrt und weiss gar nicht was ich machen soll, weswegen ich hier auch keinen vernünftigen Ansatz einbringen kann...
wenn ich meine "Umformungen" bei a) und b) von hinten nach vorne aufschreibe,
dann ist es richtig?
Edit:
beim ersten:
$ [mm] x\le\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2x [mm] \le [/mm] 1$
[mm] $\Rightarrow 2x-1\le [/mm] 0 $
[mm] $\Rightarrow 1-1\frac{1}{2x}\le [/mm] 0$
beim zweiten:
$ [mm] x>\frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2x>1$
[mm] $\Rightarrow [/mm] 2x-1>0$
also stimmt diese Behauptung für die zweite Funktion gar nicht??
Für die Surjektivität muss ja das Urbild der beiden Funktionen im Definitionsbereich der alten Funktionen liegen, erstes Urbild:
$ [mm] x=\frac{1}{2-2y} [/mm] $ und da passt $[0;0,5]$
und bei passt auch $[0.5,1]$
[mm] $x=\frac{2y+2}{2y+1}$ [/mm] auch.
Also sind sie beide bijektiv und somit auch die gesamte Funktion über [0,1]??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Mi 13.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Jemand scheint diese Frage ins Forum "Stetigkeit" verschoben zu haben. Soll ich das zeigen für das Intervall auf beide Funktionen???
|
|
|
| |
|
> Ich bin verwirrt und weiss gar nicht was ich machen soll,
> weswegen ich hier auch keinen vernünftigen Ansatz
> einbringen kann...
Hallo,
ist doch kein Wunder: für einen Schüler der ersten Grundschulklasse ist das einfach zu schwer.
Mich wundert, daß Dir überhaupt jemand versucht zu helfen.
Bei dieser Konstellation sollte man lieber mit Dir Kastanienmännchen basteln...
Wenn Du Hilfe haben möchtest, dann sieh zu, daß Du Profileinträge hast, mit denen man etwas anfangen kann.
>
>
> wenn ich meine "Umformungen" bei a) und b) von hinten nach
> vorne aufschreibe,
> dann ist es richtig?
>
>
> Edit:
> beim ersten:
> [mm]x\le\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2x \le 1[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2x-1\le 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow 1-1\frac{1}{2x}\le 0[/mm]
Dieser letzte Schritt wäre auf jeden Fall erklärungsbedürftig.
Ich folge ihm nicht aus dem Stand.
Offenbar möchtest Du zeigen, daß für [mm] x\le\bruch{1}{2} [/mm] gilt: [mm] 1-\bruch{1}{2x}\le [/mm] 0.
Sei also [mm] 0
Dann ist [mm] 0<2x\le [/mm] 1 und [mm] \bruch{1}{2x}\ge [/mm] 1.
Es folgt [mm] -\bruch{1}{2x}\le [/mm] -1, und hieraus [mm] 1-\bruch{1}{2x}\le [/mm] 1-1=0.
>
>
> beim zweiten:
> [mm]x>\frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2x>1[/mm]
> [mm]\Rightarrow 2x-1>0[/mm]
>
> also stimmt diese Behauptung für die zweite Funktion gar
> nicht??
??? Was meinst Du damit? Wie siehst Du, daß es nicht stimmt?
Versuch's jetzt mal so ählich, wie ich es gemacht habe.
Finde dafür zunächst etwas über 2-2x heraus.
Die Injektivität und Surjektivität stellen wir erstmal zurück solange, bis der Rest steht.
Ich glaub' es ist besser, wenn Du nicht auf mehreren Baustellen gleichzeitig schaufelst.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Do 14.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich habe beim ersten durch $2x$ geteilt, so dass danach [mm] $1-\frac{1}{2x}$ [/mm] da steht. Darf man das etwa nicht?
Analog habe ich beim zweiten per Polynomdivison den fehlenden Faktor ergänzt.
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush!
> Ich habe beim ersten durch [mm]2x[/mm] geteilt, so dass danach
> [mm]1-\frac{1}{2x}[/mm] da steht. Darf man das etwa nicht?
In der ersten Grundschulklasse darf man das definitiv nicht. Und auch nicht auf den Weihnachtsinseln ...
Anderen Usern mit vernünftigen Profileinträgen könnte man antworten, dass diese Division für positive Divisoren so erlaubt ist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Do 21.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke, das wusste ich nicht!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:28 Do 21.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Wie würde man das denn beweisen, über einen Widerspruch ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Do 21.10.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo kushkush!
> Wie würde man das denn beweisen, über einen Widerspruch ?
Dass man Ungleichungen durch positive Terme teilen darf ohne dass sich das Ungleichheitszeichen umkehrt?
Das lernt man irgendwann in der Mittelstufe ... und das kennst Du noch nicht.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Do 14.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich schließe mich Angelas Kommentar an, und bin ohne dass du darauf eingehst zu keiner hilfe bereit, hoffe auch, dass andere Helfer genauso reagieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Do 14.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich wurde gefragt, wie ich darauf gekommen bin, und habe geantwortet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Do 14.10.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo kushkush!
Das mag sein. Aber Du verar... uns weiterhin mit den Angaben in Deinem Profil.
Und dann kann es halt auch nur Hilfe auf dem Niveau für einen Erstklässler geben. Und mit den Mitteln der 1. Klasse ist diese Aufgabe nicht lösbar.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
