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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Sa 05.11.2005 | | Autor: | sara_99 |
Hallo,
in Mathe müssen wir eine Aufgabe lösen, die wir in der Form noch nicht behandelt haben und wo ich auch nicht so richtig weiter weiß:
Frischer Kaffee hat eibne Temperatur von 90° C. Er kühlt pro Minute um etwa 6% der Temperaturdirfferenz zwischen Kaffee und Raumteperatur ab (Raumteperatur ist 20°).
Geben Sie eine Funktionsgleichung hierfür an.
--------------------------------------------------------------------------------------
Es kann mit auch mit einer Exponentialgleichung angegeben werden. Also:
f(x)= a* [mm] c^{k*x}
[/mm]
Aber ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie es weitergeht. Kann man als Startwert a 90 annehmen und wie drückt man die anderen Angaben in der Gleichung aus?
Danke für jede Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Sa 05.11.2005 | | Autor: | mihala |
Funktion der Abkühlungskurve:
f(x) = a * [mm] e^{kx} [/mm] + c
ohne c wäre die untere Schranke der Funktion die x-Achse
der Kaffee kühlt aber nicht bis 0 sondern bis 20 ab, daher die Konstante c
k ist negativ, c ist der Endwert für sehr grosse x (hier also die Raumtemperatur)
c=20
Anfangstemperatur bei x=0 ist 90
f(0)=90 ==> a=70
Temperaturdifferenz [mm] \Delta [/mm] f(x)/ [mm] \Delta [/mm] x [mm] \approx [/mm] f'(x)
f'(x) = -0.06(f(x)-20)
aus f(x): f'(x) = ak * [mm] e^{kx}
[/mm]
-------------------------
beide Gleichungen gleichsetzen und f(x) ersetzen:
ak * [mm] e^{kx} [/mm] = -0.06(a * [mm] e^{kx} [/mm] + c -c)
==> k = -0.06
f(X) = [mm] 70e^{-0.06x} [/mm] + 20
> Hallo,
> in Mathe müssen wir eine Aufgabe lösen, die wir in der
> Form noch nicht behandelt haben und wo ich auch nicht so
> richtig weiter weiß:
>
> Frischer Kaffee hat eibne Temperatur von 90° C. Er kühlt
> pro Minute um etwa 6% der Temperaturdirfferenz zwischen
> Kaffee und Raumteperatur ab (Raumteperatur ist 20°).
> Geben Sie eine Funktionsgleichung hierfür an.
>
> --------------------------------------------------------------------------------------
>
> Es kann mit auch mit einer Exponentialgleichung angegeben
> werden. Also:
>
> f(x)= a* [mm]c^{k*x}[/mm]
>
> Aber ich habe leider überhaupt keine Ahnung wie es
> weitergeht. Kann man als Startwert a 90 annehmen und wie
> drückt man die anderen Angaben in der Gleichung aus?
>
> Danke für jede Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 So 06.11.2005 | | Autor: | sara_99 |
Vielen Dank für die Antwort, aber ich hätte noch eine Frage zum Verständnis der Antwort.
Warum muss man zur Ermittlung der Temperaturdifferenz y durch x teilen?
Ich habe gedacht, dass man dazu die Temperaturdifferenz zwischen Kaffee und der Raumtemperatur 20° nimmt, und diese deshalb auch die Differenz zwischen den Werten ausrechnen müsste (nicht den Quotienten).
Habe ich da etwas falsch verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 So 06.11.2005 | | Autor: | sara_99 |
oh, habs endlich kapiert. ^^
Also vielen Dank nochmal! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 So 06.11.2005 | | Autor: | mihala |
bei meinem Lösungsvorschlag entspricht y der Temperatur und x der Zeit
die Änderung der Temperatur erfolgt während einer bestimmten Zeit
(laut Aufgabe: "pro Minute") deshalb muss man den Differenzenquotienten verwenden
es ist ein grosser Unterschied, ob sich der Kaffee pro Minute oder pro Sekunde um eine bestimmte Temperatur(differenz) abkühlt
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