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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | Man untersuche die folgende rekursiv definierte Folge [mm] (x_n) [/mm] auf Konvergenz und berechne gegebenenfalls ihren Grenzwert:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] |
Hallo an alle!
Erstmal herzlichen Dank für Eure bisherigen Hilfe, ohne euch hätte ich es nicht geschafft! :)
Und nun zu meinem neunen Problem:
Ich möchte hier die ersten Folgeglieder ausrechnen, komme aber nicht drauf, wie das richtig gehen soll, weil ich nicht weiß was ich für n einsetzen muss.
[mm] x_0 [/mm] = 0
1. Folgeglied [mm] x_1 [/mm] = ?
Rechne ich das so:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 1^{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] Dann wäre das Ergebnis für [mm] x_1 [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
Bin mir aber nicht sicher, dass das stimmt! :(
Danke für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines!
Schreibe Dir das mal sauber auf. Aus [mm] $x_{n+1} [/mm] \ := \ [mm] x_n^2+\bruch{1}{4}$ [/mm] folgt:
[mm] $$\red{x_0} [/mm] \ := \ [mm] \red{0}$$
[/mm]
[mm] $$\blue{x_1} [/mm] \ = \ [mm] \red{x_0}^2+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] \red{0}^2+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{1}{4}}$$
[/mm]
[mm] $$\green{x_2} [/mm] \ = \ [mm] \blue{x_1}^2+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] \left(\blue{\bruch{1}{4}}\right)^2+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$x_3 [/mm] \ = \ [mm] \green{x_2}^2+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
Hallo Loddar!
Danke für dein Hilfe, habs jetzt kapiert! :)
Das sieht jetzt bei mir so aus:
[mm] x_0 [/mm] = 0
[mm] x_1 [/mm] = [mm] 0^2 [/mm] + 0,25 = 0,25
[mm] x_2 [/mm] = [mm] (0,25)^2 [/mm] + 0,25 = 0,313
[mm] x_3 [/mm] = [mm] (0,313)^2 [/mm] + 0,25 = 0,348
[mm] x_4 [/mm] = [mm] (0,348)^2 [/mm] + 0,25 = 0,371
[mm] x_5 [/mm] = [mm] (0,371)^2 [/mm] + 0,25 = 0,388
[mm] x_6 [/mm] = [mm] (0,388)^2 [/mm] + 0,25 = 0,401
[mm] x_7 [/mm] = [mm] (0,401)^2 [/mm] + 0,25 = 0,411
[mm] x_8 [/mm] = [mm] (0,411)^2 [/mm] + 0,25 = 0,419
[mm] x_9 [/mm] = [mm] (0,419)^2 [/mm] + 0,25 = 0,426
[mm] x_{10} [/mm] = [mm] (0,426)^2 [/mm] + 0,25 = 0,431
Danke, lg Ines
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines!
Das sieht richtig aus! Allerdings sollte man doch besser mit Brüchen arbeiten (ich weiß, die mag keiner  ...)
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Ines27 |
| Aufgabe | Man untersuche die folgende rekursiv definierte Folge [mm] (x_n) [/mm] auf Konvergenz und berechne ggf. ihre Grenzwerte:
[mm] x_{n+1}=x_n^2+\bruch{1}{4} [/mm] |
Ich habe dieses Beispiel nun berechnet, und wollte fragen, ob ich alles richtig gemacht habe:
1. Eine monotone & beschränkte Folge ist konvergent, deshalb prüfe ich die Folge zuerst einmal auf Beschränktheit mit Hilfe der vollständigen Induktion:
0 [mm] \le x_n \le \bruch{1}{2}
[/mm]
Basis: n = 0
Vorr.: 0 [mm] \le x_n \le \bruch{1}{2}
[/mm]
Beh.: 0 [mm] \le x_{n+1} \le \bruch{1}{2}
[/mm]
Schritt:
0 [mm] \le x_n \le \bruch{1}{2} [/mm] |:2
0 [mm] \le x_n^2 \le \bruch{1}{4} [/mm] |+ [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \bruch{1}{4} \le x_n^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} \le \bruch{1}{2}
[/mm]
Nun will ich die Monotonie beweisen, habe dies auf 2 Arten gemacht, da ich nicht weiß, welcher Ansatz besser ist:
1.) Vollständige Induktion
[mm] x_n [/mm] < [mm] x_{n+1}
[/mm]
Basis: [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1
[/mm]
Vorr.: [mm] x_n [/mm] < [mm] x_{n+1}
[/mm]
Beh.: [mm] x_{n+1} [/mm] < [mm] x_{n+2}
[/mm]
Schritt:
[mm] x_n [/mm] < [mm] x_{n+1} |^2
[/mm]
[mm] x_n^2 [/mm] < [mm] x_{n+1}^2 [/mm] | + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] x_n^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] < [mm] x_{n+1}^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
Das Endergebnis sagt mir dann: [mm] x_{n+1} [/mm] < [mm] x_{n+2}
[/mm]
2. Variante: Cauchy-Kriterium (wobei ich hier nicht ganz sicher bin obs stimmt)
[mm] |x_n^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] x_{n-1}^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}| [/mm] |*4
= [mm] |x_n^2 [/mm] + 1 - [mm] x_{n-1}^2 [/mm] + 1| |-1
= [mm] |x_n^2 [/mm] - [mm] x_{n-1}^2| \Rightarrow
[/mm]
[mm] |x_{n+1} [/mm] - [mm] x_n| \le |x_n^2 [/mm] - [mm] x_{n-1}^2| [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ines!
Dein Nachweis hat einen kleinen Haken: der erste Schritt mit dem Quadrieren der Ungleichung ist keine Äquivalenzumformung.
Aber mit entsprechender Betrachtung bzw. Bemerkung (z.B. $x_n \ \ge \ 0 \ \ \forall n\in\IN_0$ ) sollte der Nachseis so gelten.
Allerdings hat dieser Nachweis nichts mit vollständiger Induktion zu tun? Denn schließlich wendest Du nirgends die Induktionsvoraussetzung an.
$$x_{n+1} \ = \ \red{x_n}^2+\bruch{1}{4} \ \red{\le} \ \left(\red{\bruch{1}{2}}}\right)^2+\bruch{1}{4} \ = \ \bruch{1}{4}+\bruch{1}{4} \ = \ \bruch{1}{2}$$
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines!
Die Anmerkungen zum Nachweis der Beschränktheit gelten auch hier:
- Vorsicht mit der Quadrierung der Ungleichung
- es handelt sich hier nicht um vollständige Induktion.
Hier mal ein weiterer Nachweis (ohne Induktion):
$$ [mm] x_{n+1}-x_n [/mm] \ = \ [mm] x_n^2+\bruch{1}{4}-x_n [/mm] \ = \ [mm] x_n^2-2*x_n*\bruch{1}{2}+\left(\bruch{1}{2}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \left(x_n-\bruch{1}{2}\right)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 0$$
Gruß
Loddar
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