Rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Physent |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi!Ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem:
Mit A [mm] \varepsilon [/mm] (0,1) sei die Folge (a[n]) durch a[1]:=A,
[mm] a_{n+1}:=1-\wurzel{1-a_{n}} [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] rekursiv definiert. Man beweise die Konvergenz dieser Folge. Zur schreibweise: alle "n" sind Indexe.
Ich hatte mir überlegt, dies mit dem Cauchy-Konvergenzkriterium zu machen, aber ich komm da nicht weiter, ich hoffe mal mir kann hier jemand helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Sa 12.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Mit A [mm]\varepsilon[/mm] (0,1) sei die Folge (a[n]) durch
> a[1]:=A,
> a{n+1}:=1- [mm]\wurzel{1-a{n}}[/mm] n [mm]\varepsilon[/mm] N rekursiv
Du brauchst wohl noch etwas mit dem Formeleditor - das ist nicht so einfach zu lesen.
> definiert. Man beweise die Konvergenz dieser Folge. Zur
> schreibweise: alle "n" sind Indexe.
> Ich hatte mir überlegt, dies mit dem
> Cauchy-Konvergenzkriterium zu machen, aber ich komm da
> nicht weiter, ich hoffe mal mir kann hier jemand helfen.
Probiere folgenden Satz: eine monoton wachsende Folge, die beschränkt ist, het einen Grenzwert. Zeige also durch Induktion: die Folge ist wohldefiniert, beschränkt, monoton wachsend. Fertig. Zusatzfrage: was ist der Grenzwert?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Physent |
Wie erkenn ich denn bei dieser Folge,ob sie monoton steigend oder fallend ist? Ich weiß doch nicht, ob [mm] a_{n} [/mm] gegen 0 oder 1 geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Physent,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wähle Dir doch einfach mal einen Startwert $A_$ und berechne die ersten paar Folgenglieder [mm] $a_1, [/mm] \ [mm] a_2, [/mm] \ [mm] a_3, [/mm] \ ...$
Da sollte dann doch eine Tendenz erkennbar sein ...
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Sa 12.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Physent
iA. bildet man [mm] a_{n}/a_{n+1} [/mm] und beweist < oder >1 oder hier viel [mm] einfacher:a_{n+1}-a_{n} [/mm] <0 oder >0. das geht hier einfach falls
[mm] a_{n+1}-a_{n}<0 [/mm] mon. fallend [mm] a_{n+1}-a_{n}>0 [/mm] monoton steigend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Sa 12.11.2005 | | Autor: | Physent |
> Hallo Physent
> iA. bildet man [mm]a_{n}/a_{n+1}[/mm] und beweist < oder >1 oder
> hier viel [mm]einfacher:a_{n+1}-a_{n}[/mm] <0 oder >0. das geht
> hier einfach falls
> [mm]a_{n+1}-a_{n}<0[/mm] mon. fallend [mm]a_{n+1}-a_{n}>0[/mm] monoton
> steigend.
wie bilde ich denn [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] wenn ich das [mm] a_{n} [/mm] nicht kenne. Wenn ich wüsste wie ich das bilden kann hätte ich ja gar kein Problem, denn dann könnt ich [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] setzen und weiter auflösen. Das ist ja das Cauchy Kriterium welches Knvergenz direkt beweist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 Sa 12.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> wie bilde ich denn [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}[/mm] wenn ich das [mm]a_{n}[/mm] nicht
> kenne.
Du sollst ja auch Monotonie der Folge durch Induktion beweisen - also mit Rückgriff auf nidirgere n, für das du die Monotonie schon "kennst". Also du sollst aus [m]a_n\le a_{n-1}[/m] die Aussage [m]a_{n+1}\le a_n[/m] folgern.
> Wenn ich wüsste wie ich das bilden kann hätte ich ja
> gar kein Problem, denn dann könnt ich [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}|[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] setzen und weiter auflösen. Das ist ja das
> Cauchy Kriterium welches Knvergenz direkt beweist.
Das ist auch nicht direkter - es ist äquivalent zum obigen Vorgehen. Wenn ich dir mal ne Cauchy-Folge gebe ist es dann auch nicht immer klar, gegen welchen Wert genau die Folge konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 13.11.2005 | | Autor: | Physent |
Wie sähe denn der Induktionsanfang bzw. der IS aus? Ich hab doch keine konkreten werte, sodass ich das für z.b. n=1 beweisen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:24 So 13.11.2005 | | Autor: | SEcki |
> Wie sähe denn der Induktionsanfang bzw. der IS aus?
Anfang: zeige zB [m]1-\sqrt{1-a}\ge a[/m]. Dann setze für höhere n formal jeweils die Vorgänger ein. Probier es mal. Genauso Beschränktheit,
> Ich hab
> doch keine konkreten werte, sodass ich das für z.b. n=1
> beweisen könnte.
Naja - das hat man doch eher seltener. Auch in der Physik löst man dann Sachen allgemeiner - du hast also Messwerte gegeben (die in bestimmten Bereichen liegen). Und du sollst das Ergebnis bestimmen. Ist hier doch ähnlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 13.11.2005 | | Autor: | Physent |
ich hab das jetzt mal ausprobiert. hier mein Ansatz:
[mm] a_{1} [/mm] > 1- [mm] \wurzel{1-a_{1}}
[/mm]
[mm] \gdw a_{1}-1 [/mm] > - [mm] \wurzel{1-a_{1}}
[/mm]
[mm] \gdw 1-a_{a} [/mm] < [mm] \wurzel{1-a_{1}}
[/mm]
damit wäre die Gleichung ja für [mm] a_{1} \varepsilon [/mm] (0,1) erfüllt. Das gleiche kann ich ja für [mm] a_{n} [/mm] machen. Wäre das dann richtig als Monotoniebeweis?
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Hallo!
> ich hab das jetzt mal ausprobiert. hier mein Ansatz:
>
> [mm]a_{1}[/mm] > 1- [mm]\wurzel{1-a_{1}}[/mm]
> [mm]\gdw a_{1}-1[/mm] > - [mm]\wurzel{1-a_{1}}[/mm]
> [mm]\gdw 1-a_{a}[/mm] < [mm]\wurzel{1-a_{1}}[/mm]
>
> damit wäre die Gleichung ja für [mm]a_{1} \varepsilon[/mm] (0,1)
> erfüllt. Das gleiche kann ich ja für [mm]a_{n}[/mm] machen. Wäre das
> dann richtig als Monotoniebeweis?
Das sieht schon ziemlich gut aus! Schließlich hast du ja [mm] $A\in [/mm] (0;1)$ gegeben.
Deine Induktionsvoraussetzung sollte jetzt lauten:
Sei [mm] $a_n\le a_{n-1}$ [/mm] und [mm] $a_n\in [/mm] (0;1)$ für ein [mm] $n\in \IN$ [/mm] bereits gezeigt.
Jetzt kannst du bei $n+1$ weitermachen. Zeige also, dass [mm] $a_{n+1}\le a_n$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}\in [/mm] (0;1)$. Es gibt einen Satz, der besagt, dass jede Folge, die beschränkt und monoton ist, konvergiert. Außerdem konvergiert sie dann gegen den Punkt [mm] $a_\infty$, [/mm] für den gilt: [mm] $a_\infty=1-\sqrt{1-a_\infty}$.
[/mm]
Gruß, banachella
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