Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Di 20.11.2012 | | Autor: | hilbert |
Hallo , ich ssll den Grenzwert einer Folge herausfinden:
[mm] a_{n+1}=a_n(2-c*a_n) [/mm] mit c [mm] \in \IR [/mm] und c>0 sowie [mm] 0
Da stellt sich mir die erste Frage:
Wenn ich das mit dem Satz der monotonen Konvergenz zeigen möchte, dann weiß ich durch eine Nebenbetrachtung, dass der Grenzwert 1/c sein sollte und in der Aufgabenstellung steht, ich soll zeigen dass die Folge monoton wöchst und nach oben beschränkt ist, aber das monoton wachsen kann doch bei [mm] a_0 [/mm] > [mm] \bruch{1}{c} [/mm] gar nicht funktionieren??
Gemäß der Aufgabenstellung versuche ich es aber einfach mal:
Monotonie:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=2-ca_n [/mm] damit das monoton wachsend ist muss [mm] c*a_n [/mm] < 1 sein, demnach bräuchte ich eine obere Schranke [mm] \bruch{1}{c} [/mm] ab einem gewissen [mm] n_0.
[/mm]
Dies zeige ich jetzt mit Induktion, IA ist direkt okay falls [mm] a_0 [/mm] < [mm] \bruch{1}{c}, [/mm] falls nicht: [mm] a_0= \bruch{1}{c}+\varepsilon [/mm] mit 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \bruch{1}{c}
[/mm]
[mm] a_1=a_0*(2-c*a_0)=(\bruch{1}{c}+\varepsilon)(2-c*( \bruch{1}{c}+\varepsilon))=(\bruch{1}{c}+\varepsilon)(1-c\varepsilon)=\bruch{1}{c}-\varepsilon+\varepsilon-c\varepsilon^2=\bruch{1}{c}-c\varepsilon^2 [/mm] < [mm] \bruch{1}{c}.
[/mm]
Also wäre der IA dann für [mm] a_1 [/mm] gültig.
[mm] IV:a_n [/mm] < [mm] \bruch{1}{c} [/mm] bzw [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{c}-\varepsilon
[/mm]
IS: n->n+1
[mm] a_{n+1}=a_n(2-ca_n)=(\bruch{1}{c}-\varepsilon)(2-c(\bruch{1}{c}-\varepsilon)=(\bruch{1}{c}-\varepsilon)(1+\varepsilon)=\bruch{1}{c}+\bruch{1}{c}\varepsilon-\varepsilon-\varepsilon^2=\bruch{1}{c}-\varepsilon+(\bruch{1}{c}-\varepsilon)\varepsilon [/mm] und hier komme ich nicht weiter. Ich denke das geht sowieso viel einfacher als ich das hier versuche. Habt ihr einen netten Tipp für mich?
|
|
| |
|
Hallo hilbert,
> Hallo , ich ssll den Grenzwert einer Folge herausfinden:
>
> [mm]a_{n+1}=a_n(2-c*a_n)[/mm] mit c [mm]\in \IR[/mm] und c>0 sowie
> [mm]0
> Da stellt sich mir die erste Frage:
> Wenn ich das mit dem Satz der monotonen Konvergenz zeigen
> möchte, dann weiß ich durch eine Nebenbetrachtung, dass
> der Grenzwert 1/c sein sollte und in der Aufgabenstellung
> steht, ich soll zeigen dass die Folge monoton wöchst und
> nach oben beschränkt ist, aber das monoton wachsen kann
> doch bei [mm]a_0[/mm] > [mm]\bruch{1}{c}[/mm] gar nicht funktionieren??
Stimmt. In diesem Fall ist sie auch monoton fallend.
Von daher ist auch das folgende so unnötig kompliziert.
Ich sehe gerade nicht, wie man beide Fälle in einer Rechnung erschlägt, aber mit Fallunterscheidung geht es gut.
Für [mm] a_0=\tfrac{1}{c} [/mm] ist die Folge konstant.
Grüße
reverend
> Gemäß der Aufgabenstellung versuche ich es aber einfach
> mal:
>
> Monotonie:
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=2-ca_n[/mm] damit das monoton wachsend ist
> muss [mm]c*a_n[/mm] < 1 sein, demnach bräuchte ich eine obere
> Schranke [mm]\bruch{1}{c}[/mm] ab einem gewissen [mm]n_0.[/mm]
>
> Dies zeige ich jetzt mit Induktion, IA ist direkt okay
> falls [mm]a_0[/mm] < [mm]\bruch{1}{c},[/mm] falls nicht: [mm]a_0= \bruch{1}{c}+\varepsilon[/mm]
> mit 0 < [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\bruch{1}{c}[/mm]
>
> [mm]a_1=a_0*(2-c*a_0)=(\bruch{1}{c}+\varepsilon)(2-c*( \bruch{1}{c}+\varepsilon))=(\bruch{1}{c}+\varepsilon)(1-c\varepsilon)=\bruch{1}{c}-\varepsilon+\varepsilon-c\varepsilon^2=\bruch{1}{c}-c\varepsilon^2[/mm]
> < [mm]\bruch{1}{c}.[/mm]
>
> Also wäre der IA dann für [mm]a_1[/mm] gültig.
>
> [mm]IV:a_n[/mm] < [mm]\bruch{1}{c}[/mm] bzw [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{c}-\varepsilon[/mm]
>
> IS: n->n+1
>
> [mm]a_{n+1}=a_n(2-ca_n)=(\bruch{1}{c}-\varepsilon)(2-c(\bruch{1}{c}-\varepsilon)=(\bruch{1}{c}-\varepsilon)(1+\varepsilon)=\bruch{1}{c}+\bruch{1}{c}\varepsilon-\varepsilon-\varepsilon^2=\bruch{1}{c}-\varepsilon+(\bruch{1}{c}-\varepsilon)\varepsilon[/mm]
> und hier komme ich nicht weiter. Ich denke das geht sowieso
> viel einfacher als ich das hier versuche. Habt ihr einen
> netten Tipp für mich?
|
|
|
|
