Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:51 So 13.02.2011 | | Autor: | ggg |
| Aufgabe | Durch [mm] a_{0}:= a\in\IR, [/mm] und [mm] a_{1}:= b\in\IR [/mm] und [mm] a_{n}:=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2}) [/mm] für [mm] n\in\IR, [/mm] wird induktiv eine reele Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] definiert. Bestimmen Sie den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}.
[/mm]
Hinweis: Beweisen Sie zuerst [mm] a_{n+1}-a_{n}=(\bruch{-1}{2})^{n}*(b-a) [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] |
Hi Leute,
Irgendwie habe ich keinen Durchblick wie ich den Grenzwert bestimmen soll.
Generell zeige ich Konvergenz, wenn ich Monotonie und Beschränktheit nachweisen kann und der Grenzwert wird anhand der Grenzwertsätze ermittelt.
Den Hinweis habe ich per Induktion zeigen können, aber voran gebracht hat er mich auch nicht.
Das ist bisher was ich ausprobiert habe und was mich verwirrt hat
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a=\bruch{1}{2}(a+a)=a
[/mm]
[mm] a_{n+1}=(\bruch{-1}{2})^{n}*(b-a)+a_{n}=a_{n+1}-a_{n}+a_{n}\Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}-a_{n}+a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}-\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a-a+a=a
[/mm]
Hmmmm, ist der Grenzwert dieser rekursiven Folge lediglich a? Wozu brauchte ich dann diesen Hinweis.
Ich habe mir versucht diese Aufgabe auch mit dem Taschenrechner zu veranschaulichen und dabei hat sich immer herausgestellt das der Grenzwert größer als [mm] a_{0} [/mm] und kleiner als [mm] a_{1} [/mm] ist wenn [mm] a_{0}
Was würdet ihr mir bezüglich der Aufgabe vorschlagen
mfg
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:21 So 13.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonas!
> Durch [mm]a_{0}:= a\in\IR,[/mm] und [mm]a_{1}:= b\in\IR[/mm] und
> [mm]a_{n}:=\bruch{1}{2}(a_{n-1}+a_{n-2})[/mm] für [mm]n\in\IR,[/mm] wird
> induktiv eine reele Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] definiert.
> Bestimmen Sie den Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}.[/mm]
>
> Hinweis: Beweisen Sie zuerst
> [mm]a_{n+1}-a_{n}=(\bruch{-1}{2})^{n}*(b-a)[/mm] für [mm]n\in\IN[/mm]
> Hi Leute,
>
> Irgendwie habe ich keinen Durchblick wie ich den Grenzwert
> bestimmen soll.
> Generell zeige ich Konvergenz, wenn ich Monotonie und
> Beschränktheit nachweisen kann und der Grenzwert wird
> anhand der Grenzwertsätze ermittelt.
>
> Den Hinweis habe ich per Induktion zeigen können, aber
> voran gebracht hat er mich auch nicht.
Oh doch, das ist entscheidend: du hast damit gezeigt, dass es sich um eine Cauchyfolge handelt und damit ihre Konvergenz. Sonst könntest du gar nicht vom Grenzwert reden.
>
> Das ist bisher was ich ausprobiert habe und was mich
> verwirrt hat
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a=\bruch{1}{2}(a+a)=a[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=(\bruch{-1}{2})^{n}*(b-a)+a_{n}=a_{n+1}-a_{n}+a_{n}\Rightarrow\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}-a_{n}+a_{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}-\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a-a+a=a [/mm]
Wie kommst du denn hier auf a? [mm] $a=a_0$, [/mm] was hat das mit dem Grenzwert zu tun? Nimm doch mal einen anderen Namen für den Grenzwert!
> Hmmmm, ist der Grenzwert dieser rekursiven Folge lediglich
> a?
Wie kommst du denn darauf? [mm] $a=a_0$, [/mm] das hat nichts mit dem Grenzwert zu tun. Nenn den Grenzwert c und fang nochmal an!
> Ich habe mir versucht diese Aufgabe auch mit dem
> Taschenrechner zu veranschaulichen und dabei hat sich immer
> herausgestellt das der Grenzwert größer als [mm]a_{0}[/mm] und
> kleiner als [mm]a_{1}[/mm] ist wenn [mm]a_{0}
Richtig.
> Was würdet ihr mir bezüglich der Aufgabe vorschlagen
Versuch doch erst einmal mit dem Taschenrechner eine Vorstellung vom Grenzwert zu bekommen. Nim dir den einfachen Fall $a=0$, $b=1$ und schau dir die Folgenglieder an. Mit einem programmierbaren Taschenrechner solltest du ganz schnell eine Vermutung über den Grenzwert bekommen.
Die Idee
[mm] a_{n+1}=(\bruch{-1}{2})^{n}*(b-a)+a_{n} [/mm]
zu setzen, ist gar nicht schlecht. Jetzt machst du das auch für [mm] $a_n$ [/mm] und so weiter.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 13.02.2011 | | Autor: | ggg |
Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
Und in der Tat, das ist wirklich eine Cauchy-Folge. Wirklich einfach verblüffend
Ich habe bemerkt das der Grenzwert immer eine Vielfache von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist.
Weiterhin habe ich herausgefunden das man fur [mm] a_{n+1} [/mm] schreiben kann [mm] a_{n+1}= (\bruch{-1}{2})^{n}(b+a)+(\bruch{-1}{2})^{n-1}*b+\summe_{i=1}^{n-3}a_{i+2}(\bruch{-1}{2})^{{n-3}-i}.
[/mm]
Ich weiß auch nicht in wie fern mir das helfen konnte, aber ich kann auch herzensgern auf diese Darstellung verzichten.
Mir fällt immer noch kein brauchbarer Ansatz ein wie ich den Grenzwert ermitteln konnte. Das wäre echt super, wenn mir da jemand helfen könnte.
mfg
Joans
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> Danke erstmal für deine schnelle Antwort.
> Und in der Tat, das ist wirklich eine Cauchy-Folge.
> Wirklich einfach verblüffend
>
> Ich habe bemerkt das der Grenzwert immer eine Vielfache von
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ist.
> Weiterhin habe ich herausgefunden das man fur [mm]a_{n+1}[/mm]
> schreiben kann [mm]a_{n+1}= (\bruch{-1}{2})^{n}(b+a)+(\bruch{-1}{2})^{n-1}*b+\summe_{i=1}^{n-3}a_{i+2}(\bruch{-1}{2})^{{n-3}-i}.[/mm]
>
> Ich weiß auch nicht in wie fern mir das helfen konnte,
> aber ich kann auch herzensgern auf diese Darstellung
> verzichten.
Das mag vielleicht auch richtig sein, aber in dieser Form bringts dir tatsächlich leider recht wenig.
Wenn du das entsprechend einsetzt und richtig weiterführst, kommst du auf Folgendes:
[mm] a_{n+1}=(-\bruch{1}{2})^{n}(a_{1}-a_{0})+\summe_{k=0}^{n-1}(-2)^{k}+a_{1}+a_{0}
[/mm]
Die Summe kannst du dann mithilfe der geom. Reihe berechnen und dann das ganze ein ganzes Stück vereinfachen. Wenn du dann den limes bildest (n gegen [mm] \infty), [/mm] dann erhälst du den gesuchten Grenzwert!
> Mir fällt immer noch kein brauchbarer Ansatz ein wie ich
> den Grenzwert ermitteln konnte. Das wäre echt super, wenn
> mir da jemand helfen könnte.
> mfg
> Joans
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