Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:54 Mo 23.11.2009 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | [mm] a_{1}=\wurzel{6}
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}
[/mm]
Grenzwert? Konvergenz? |
Hallo,
ist das so korrekt aufgeschrieben?
Vermutung: monoton steigend, GW bei 3
1) Nachweis von [mm] a_n<3 [/mm] für jedes [mm] n\in\IN
[/mm]
Vollständige Induktion für A(n): [mm] a_{n}<3
[/mm]
I-Anfang: A(1) ist wahr.
I-Schritt: [mm] a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}<\wurzel{6+3}=3
[/mm]
I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm] n\ge{1} [/mm] mit [mm] n\in\IN
[/mm]
2) Nachweis der Monotonie:
[mm] a_{n+1}>a_{n} [/mm] => [mm] -2
Damit ist [mm] a_{n} [/mm] für alle n monoton und durch 3 beschränkt. Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge somit konvergent.
Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden? Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...
Danke!
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Hallo Oli,
im Prinzip alles ok.
> [mm]a_{1}=\wurzel{6}[/mm]
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}[/mm]
>
> Grenzwert? Konvergenz?
> Hallo,
>
> ist das so korrekt aufgeschrieben?
>
> Vermutung: monoton steigend, GW bei 3
>
> 1) Nachweis von [mm]a_n<3[/mm] für jedes [mm]n\in\IN[/mm]
> Vollständige Induktion für A(n): [mm]a_{n}<3[/mm]
> I-Anfang: A(1) ist wahr.
> I-Schritt: [mm]a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}<\wurzel{6+3}=3[/mm]
> I-Schluss: A(n) wahr für alle [mm]n\ge{1}[/mm] mit [mm]n\in\IN[/mm]
Aha. Der Grenzwert kann also höchstens 3 sein.
> 2) Nachweis der Monotonie:
> [mm]a_{n+1}>a_{n}[/mm] => [mm]-2
>
> Damit ist [mm]a_{n}[/mm] für alle n monoton steigend und durch 3
> beschränkt.
Genau. Wir wussten ja schon, dass alle [mm] a_n [/mm] positiv sind und außerdem <3.
> Der Grenzwert muss also 3 sein, die Folge
> somit konvergent.
Ist das wirklich schon sicher? Könnte der Grenzwert nicht auch 2,9411 sein?
Wo hast Du gezeigt, dass er nicht kleiner als 3 ist?
> Ist das so ok und gibt es auch einen Weg, auf die 3 zu
> kommen, wenn die (rekursiven) Folgen komplizierter werden?
> Die habe ich durch genaues Hingucken erkannt...
Es gibt keinen Standardweg. Viel Übung ermöglicht einem häufiger, durch "genaues Hingucken" eine Lösung zu finden. Nichtmathematiker verzweifeln übrigens bei dieser Angabe. 
> Danke!
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:22 Mo 23.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Puh, da hast du natürlich recht ;)
Wüsste jetzt aber auch nicht, was ich hier noch weiter machen könnte... Ideen?
Danke!
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Hallo nochmal,
naja - es fehlt die eigentliche Grenzwertbetrachtung.
Du könntest z.B. [mm] b_n=3-a_n [/mm] definieren und zeigen, dass [mm] b_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Wenn der Grenzwert der Folge [mm] a_n [/mm] bei a liegt, dann wird gelten:
[mm] a=\wurzel{6+a}
[/mm]
- und das hat die Lösungen [mm]a_{1/2}=\bruch{1}{2}(1\pm 5)[/mm], wie Du ja schon weißt. Und da die Folge streng monoton steigend ist, kommt nur der obere Wert in Frage.
Leider ist das mathematisch nicht erlaubt. Die Grenzwertbetrachtung mag zwar den vermuteten Grenzwert schon rechnerisch mit verarbeiten, aber sie darf ihn nicht - wie oben - voraussetzen. Wie also könntest Du das mit einem gewöhnlichen Limes zeigen? Das ist die noch offene Frage, aber den Ansatz findest Du jetzt bestimmt.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Di 24.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Hmm, stehe noch etwas auf dem Schlauch.
Würde mal den Grenzwert a bestimmen:
[mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\wurzel{\limes_{n\rightarrow\infty}(6)+\limes_{n\rightarrow\infty}(a_{n})}
[/mm]
Kann ich nun für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] direkt wieder a einsetzen?
Wenn ja: [mm] a=\wurzel{6+a} [/mm] => a=3 v a=-2
Wie genau argumentiere ich jetzt, dass der Grenzwert nicht -2 sein darf? Mit a<3 ist dies ja problemlos möglich...
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
da [mm] a_1>0 [/mm] und du ja gezeigt hast dass damit alle [mm] a_n [/mm] grösser sind, muss der GW positiv sein.
-2 ist also höchstens mit [mm] a_1<0 [/mm] möglich. Dann muss man aber wohl auch die negative Wurzel nehmen.
sonst ist nach dem 1. Schritt dann wieder alles positiv. und mit a1<-6 kann man nicht anfangen.
Wenn man weiss, dass ne rekursive Folge konv. also beschränkt und monoton kann man immer lim [mm] a_n=lim a_{n+1}=a [/mm] setzen und hat dann direkt den GW.
Den Nachweis der Monotonie hab ich nicht durchschaut, der ist wahrscheinlich nur zu knapp hingeschrieben.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Di 24.11.2009 | | Autor: | oli_k |
Alles klar, vielen Dank.
Zur Monotonie:
[mm] a_{n+1}=\wurzel{6+a_{n}}>a_{n}
[/mm]
Das nach [mm] a_{n} [/mm] auflösen und man erhält [mm] -2
Oli
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