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Hallo
Folgen Fragestellung beschäftigt mich seit Tagen und ich komme irgendwie nicht weiter.
Da ist ein Händler, der zwei Waren tauscht. Der Preis der beiden Waren wird durch deren Verhältnis bestimmt, wobei der Händler bei jedem Tausch 15% Gewinn aufschlägt.
Beispiel:
Bestand Ware 1: W1 = 1000
Bestand Ware 2: W2 = 1000
Will ein Kunde nun ein Gut der Ware 1 tauschen (er nimmt Ware 1 und gibt dafür Ware 2). So gilt beim obenstehenden Warenstand die folgenden Formel für den neuen Endstand von Ware 2:
[mm]W2_0 = W2 + W2 / (W1 - 0) + 0,15 = 1001,15[/mm]
Tauscht ein Kunde nun ein weiteres Gut 1, so gilt
[mm]W2_1 = W2_0 + W2_0 / (W1 - 1) + 0,15[/mm]
So weit so gut, durch Umformung kann ich das ganze zwar noch vereinfachen und erhalte:
[mm]W2_i = 0,15 + W2_{i-1}*(1 + \bruch{1}{W1-i})[/mm]
Schön und gut, aber wie kriege ich nun eine Formel hin, mit der ich automatisch z.B. den 100. Tausch (i=100) errechnen kann.
Irgendwie wird das alles eine rekursive Reihe sein, doch bei der Auflösung komme ich absolut nicht weiter. Über jeden Hinweis und jede Hilfe bin ich dankbar 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Di 01.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber divisionbyzero
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo
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> Folgen Fragestellung beschäftigt mich seit Tagen und ich
> komme irgendwie nicht weiter.
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> Da ist ein Händler, der zwei Waren tauscht. Der Preis der
> beiden Waren wird durch deren Verhältnis bestimmt, wobei
> der Händler bei jedem Tausch 15% Gewinn aufschlägt.
>
> Beispiel:
> Bestand Ware 1: W1 = 1000
> Bestand Ware 2: W2 = 1000
>
Ich will weiter unten, um ein gewohnteres Bild zu erhalten, den Anfangsbestand der Ware 1 mir [mm] $a_0$ [/mm] bezeichnen, jenen vom der Ware 2 mit [mm] $b_0$
[/mm]
Dann die Bestände nach n-maligem Tauschen mit [mm] $a_n$ [/mm] resp. [mm] $b_n$
[/mm]
> Will ein Kunde nun ein Gut der Ware 1 tauschen (er nimmt
> Ware 1 und gibt dafür Ware 2). So gilt beim obenstehenden
> Warenstand die folgenden Formel für den neuen Endstand von
> Ware 2:
>
> [mm]W2_0 = W2 + W2 / (W1 - 0) + 0,15 = 1001,15[/mm]
>
Das glaube ich schon mal nicht so recht. Es ist ja von 15% die Rede. 15% wovon? Vermutlich vom Verkaufspreis.
Wenn man zu einem Wert $w_$ 15% zuschlägt, dann hat man nach dem Zuschlag doch $1.15*w_$.
Ich denke, das müsste, mit meinem Bezeichnungen eher so heissen:
[mm] $a_0=1000$
[/mm]
[mm] $b_0=1000$
[/mm]
[mm] $a_{n+1}=a_n-1$
[/mm]
[mm] $b_{n+1}=b_n+1.15*\bruch{b_n}{a_n}=b_n(1+\bruch{1.15}{a_n})=b_n*\bruch{a_n+1.15}{a_n}$
[/mm]
Das ergibt offenschtlich: [mm] $a_n=a_0-n$
[/mm]
Wenn du zum Beispiel [mm] $b_4$ [/mm] berechnen willst, dann bekommst du jetzt sofort:
[mm] $b_4=$
[/mm]
[mm] $b_3*\bruch{a_3+1.15}{a_3}=$
[/mm]
[mm] $b_2*\bruch{a_2+1.15}{a_2}*\bruch{a_3+1.15}{a_3}=$
[/mm]
[mm] $b_1*\bruch{a_1+1.15}{a_1}*\bruch{a_2+1.15}{a_2}*\bruch{a_3+1.15}{a_3}=$
[/mm]
[mm] $b_0*\bruch{a_0+1.15}{a_0}*\bruch{a_1+1.15}{a_1}*\bruch{a_2+1.15}{a_2}*\bruch{a_3+1.15}{a_3}=$
[/mm]
[mm] $b_0*\bruch{a_0+1.15}{a_0}*\bruch{a_0-1+1.15}{a_0-1}*\bruch{a_0-2+1.15}{a_0-2}*\bruch{a_0-3+1.15}{a_0-3}$
[/mm]
Da fällt mir nichts mehr weiteres ein, als dafür noch das Produktzeichen zu verwenden:
[mm] $b_n=b_0*\produkt_{k=0}^{n-1}\bruch{a_0-k+1.15}{a_0-k}$
[/mm]
Vielleicht gibt es noch ein Genie, das das noch in eine geschlossene Formel bringt.  (Ich glaubs allerdings nicht)
Mit lieben Grüssen
Paul
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Ich danke Dir zunächst für Deine Antwort.
Deine Lösung bringt mich zwar einen Schritt weiter aber noch immer nicht ins Ziel.
Natürlich könnte ich dieses per Computer ausprogrammieren, doch wäre mir eine geschlossene Funkton lieber. Ein kurzes Script in PHP hat mühelos auch in kürzester Zeit Rechnungen bis zu 100.000 durchgeführt. och mich würde es reizen es auch als Mensch ganz einfach per Hand ausrechnen zu können...
Selbst eine Annäherung würde mir auch schon weiterhelfen!
Also eine Frage an die schon bereits erwähnten Genies...
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Hallo division_by_zero,
ich fürchte fast, ich kann deine Schwierigkeiten nicht nachvollziehen.
Also
Gut1 tauschen heisst:
Händler bekommt 1,15 vom Gut2 und gibt 1 vom Gut1
Gut2 tauschen heisst:
Händler bekommt 1,15 vom Gut1 und gibt 1 vom Gut2
Wenn man den Vektor (x,y) hernimmt und mit x den Bestand von Gut1 und y den Bestand von Gut2 bezeichnet, dann ist
'Tausche Gut1' (x,y) -> (x-1,y+1,15)
'Tausche Gut2' (x,y) -> (x+1,15,y-1)
Klingt für mich logisch.
Damit gilt also allgemein nach a-maligem Tausch von Gut1 und b-maligem Tausch von Gut2:
(x,y)=(1000-a+1,15b,1000+1,15a-b)
Hugo
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Hallo
Auch Dir Danke Für Deine Antwort, aber ich glaube, daß Du von falschen Voraussetzungen ausgehst.
Der Pres von Gut 1 und Gut 2 ist alles andere als konstant, denn er errechnet sich aus den jeweiligen Verhältnissen zwischen Gut 1 und Gut mit einem 15% Aufschlag für den Händler.
Beispiel an Zahlen:
Anfangsbestand Gut 1: $ [mm] a_0=1000 [/mm] $
Anfangsbestand Gut 2: $ [mm] b_0=1000 [/mm] $
Kosten für ein Gut 1: $ [mm] 1.15\bruch{b_0}{a_0}=1.15 [/mm] $
Nach diesem ertsen Tausch haben wir also folgendes Zahlenmaterial:
Gut 1: $ [mm] a_1=999 [/mm] $
Gut 2: $ [mm] b_1=1001,15 [/mm] $
Kosten für ein Gut 1: $ [mm] 1.15\bruch{b_1}{a_1}=1.15\bruch{1001.15}{999}=1,152474975 [/mm] $
Wie Du siehst, ist der Preis alles andere als konstant.
Für die weiteren Transaktionen ergibt sich dann folgendes Bild:
$ [mm] a_n [/mm] $ $ [mm] b_n [/mm] $ $ [mm] 1.15\bruch{b_n}{a_n} [/mm] $
998 1002.302474975 1.1549577617447
997 1003.4574327367 1.1574483928257
996 1004.6148811295 1.1599469009026
995 1005.7748280304 1.1624533188292
994 1006.9372813493 1.1649676796294
993 1008.1022490289 1.1674900164987
992 1009.2697390454 1.1700203628047
991 1010.4397594082 1.1725587520882
990 1011.6123181603 1.175105218065
989 1012.7874233784 1.177659794626
988 1013.965083173 1.180222515839
987 1015.1453056888 1.1827934159495
986 1016.3280991048 1.1853725293818
985 1017.5134716342 1.1879598907404
984 1018.7014315249 1.1905555348106
983 1019.8919870597 1.1931594965602
982 1021.0851465563 1.1957718111402
981 1022.2809183674 1.1983925138864
...
Ich habe bereits die rekursive Definition dieser Funktion erhalten:
$ [mm] b_n=b_0\cdot{}\produkt_{k=0}^{n-1}\bruch{a_0-k+1.15}{a_0-k} [/mm] $
Aber dieses alles nun in eine geschlossene Funktionen zu bekommen, wäre ein Traum.
Zwar habe ich jetzt schon die Rekursive Definition doch zum Berechnen wäre die Explizite Definition erheblich einfacher.
Nach dieser Expliziten Definition suche ich!
Welches Genie kann hierbei helfen?
Lieben Gruß
$ [mm] Division_by_0 [/mm] $
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hallo leute, ich moechte nur eine anmerkung machen ( meine bescheidenen mathe kentnisse lassen leider keine antwort zu ) aber ich wuerde das ganze mal als natürlich wachsende funktion ansehen ( klingelingeling der euler kommt um die ecke gefahren )
danach muesste mann doch irgendwie so aehnlich wie bei der zinseszins rechnung eine annaeherung an die von dir gewuenschte formel kriegen ... ;)
sorry, aber die idee musste ich losswerden !
grüsse
christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 Di 08.03.2005 | | Autor: | Hexe |
Also mal sehen es geht um
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1} \bruch{a_0-k+1,15}{a_0-k} [/mm]
Ich betrachte mal Nenner und zähler getrennt is ja kein Problem
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1} a_0-k =\bruch{a_0!}{(a_0-n)!} [/mm] und
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1}a_0-k+1,15 =\bruch{(a_0+1,15)!}{(a_0+1,15-n)!} [/mm] also gibt das Ganze
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1} \bruch{a_0-k+1,15}{a_0-k}=\bruch{(a_0+1,15)!(a_0-n)!}{a_0!(a_0+1,15-n)!}
[/mm]
Also ich kann mich natürlich irren aber ich glaube das is es
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