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| Aufgabe | Die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] sei rekursif deffiniert durch [mm] a_{1} [/mm] :=0 und
[mm] a_{n+1} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2} \* (\bruch{3}{4} [/mm] + [mm] a^2_{n}). [/mm] Zeigen Sie, dass
[mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert und bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie [mm] a_{n} \le [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] und benutzen Sie dies, um die Monotonie der Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] zu zeigen |
Hallo Leute :)
versuche die oben stehende Aufgabe zu lösen.
Jedoch finde ich keinen richtigen Faden.
Wenn die Folge rekursiv deffiniert ist, heißt es ich muss mein [mm] a_{n} [/mm] finden?
Sofern ja, dann gilt es das
[mm] a_{n+1} [/mm] nach a umzustellen?
Dies ist so das einzige was ich glaub ich wissen würde :)
Hat jemand Tips von Euch?
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Stefanie,
> Die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] sei rekursif deffiniert ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") durch
> [mm]a_{1}[/mm] :=0 und
> [mm]a_{n+1}[/mm] := [mm]\bruch{1}{2} \* (\bruch{3}{4}[/mm] + [mm]a^2_{n}).[/mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] konvergiert und bestimmen Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm]
>
> Hinweis: Zeigen Sie [mm]a_{n} \le[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] und benutzen
> Sie dies, um die Monotonie der Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] zu
> zeigen
> Hallo Leute :)
>
> versuche die oben stehende Aufgabe zu lösen.
> Jedoch finde ich keinen richtigen Faden.
>
> Wenn die Folge rekursiv deffiniert ist, heißt es ich muss
> mein [mm]a_{n}[/mm] finden? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was meinst du damit? Eine explizite Darstellung? Nein, musst du nicht finden
> Sofern ja, dann gilt es das
> [mm]a_{n+1}[/mm] nach a umzustellen?
Ja, wenn der GW existiert, so ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=a$
[/mm]
Dann kannst du $a$ für [mm] $a_n, a_{n+1}$ [/mm] schreiben und nach $a$ auflösen
>
> Dies ist so das einzige was ich glaub ich wissen würde :)
>
> Hat jemand Tips von Euch?
Du musst zeigen, dass die Folge
(1) beschränkt
(2) monoton wachsend oder fallend
ist.
Berechne ein paar Folgenglieder, dann solltest du einen Verdacht bekommen, durch welche Zahl die Folge beschränkt ist und ob sie monoton wachsend oder fallend ist.
Die Beschränktheit solltest du dann mit vollst. Induktion beweisen.
Für die Monotonie zeige, dass stets gilt [mm] $a_{n+1}\le (\ge) a_n$
[/mm]
bzw. [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}\le (\ge) [/mm] 1$
Gruß
schachuzipus
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Rekursiv heißt also, die Folge "ruft sich selber auf" ?
Weil wir haben dort stehen [mm] a_{n+1} [/mm] ..... a
Zu den Folgegliedern... Ich glaube ich schaff das nicht :(
Ich kann ja kein n einsetzen.
$ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4} \* a^2_{n}). [/mm] $
Wenn ich nun n nehmen würde, bekäme ich raus:
$ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] (\bruch{3}{4} \* a^2_{1}). [/mm] $
D.h. ich Berechne das Ergebnis für [mm] a_{n}.. [/mm] Aber mein [mm] a_{n} [/mm] kenne ich ja nicht :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:17 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Du kannst hier immer nur ein Folgenglied aus dem vorherigen berechnen. Der Startwert mit [mm] $\red{a_1 \ := \ 0}$ [/mm] ist ja gegeben.
Daraus erhalten wir nun das folgeglied [mm] $a_2$ [/mm] mit:
[mm] $$\blue{a_2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{3}{4}+\red{a_1}^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{3}{4}+\red{0}^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{\bruch{3}{8}}$$
[/mm]
[mm] $$\green{a_3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{3}{4}+\blue{a_2}^2\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left[\bruch{3}{4}+\left(\blue{\bruch{3}{8}}\right)^2\right] [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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Danke Loddar :)
nun... habe dann ein Paar Folgeglieder ausgerechnet...
[mm] a_{1} [/mm] = 0
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \bruch{57}{128}
[/mm]
....
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
kann ich das so schreiben ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Das mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] ist ein (begründeter) Verdacht ... aber momentan noch nicht mehr.
Diese Konvergenz musst Du noch nachweisen. Dafür solltest Du sowohl die strenge Monotonie als auch die Beschränktheit dieser Folge zeigen (jeweils mit vollständiger Induktion).
Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal :)
nach langem herumforschen im Internet ist mir nun einiges bischen klarer...
Es gilt also:
streng monoton fallend [mm] a_{n} [/mm] > [mm] a_{n+1}
[/mm]
monoton fallend [mm] a_{n} \ge a_{n+1}
[/mm]
streng monoton steigen [mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
monoton steigend [mm] a_{n} \le a_{n+1}
[/mm]
Meine Frage nun aber..
Muss ich beide Mgl. (monoton Fallend , steigend) einfach ausprobieren oder gibt es da einen trick ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Du hast doch bereits die ersten Folgenglieder berechnet. Da drängt sich doch der Gedanke auf, dass diese Folge (streng) monoton steigend ist.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar !
Ich glaube ich bin zu blöd dafür :(
Bei einer anderen Aufgabe verstehe ich es:
[mm] a_{n} [/mm] = 5 + [mm] n\*2
[/mm]
für monoton steigend:
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
D.h.
5 + [mm] n\*2 [/mm] < 5 + [mm] (n+1)\*2
[/mm]
umformen etc.
5 < 7
aber das kann ich irgendwie nicht auf diese Aufgabe transferieren :(
Mein [mm] a_{n} [/mm] kann ich ja nicht verwenden, da wie Du sagtest "es ist nicht mehr als eine begründete Aussage" ;)
sonst aber auch:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + (n+1)
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] a_{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + (n+1)
hmm =/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:59 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Für die Eigenschaft "monoton steigend" ist also zu zeigen:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ > \ [mm] a_n$$
[/mm]
[mm] $$\bruch{1}{2}*\left(\bruch{3}{4}+a_n^2\right) [/mm] \ > \ [mm] a_n$$
[/mm]
Diese Ungleichung nun auflösen. Dazu alles auf eine Seite bringen und mit Hilfe der  p/q-Formel in die Linearfaktoren zerlegen.
Gruß
Loddar
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