Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:15 Sa 12.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Hallo Zusammen,
und zwar hätte ich da eine Verständnisfrage zu den rekursiv definierten Folgen.
Also man sollte ja immer mit der Grenzwertannahme starten.
Betrachtet man die Folge:
a1=1 an+1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}an^2 +1}
[/mm]
g= [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}g^2 +1}
[/mm]
Also durch Umformung kommt man auf den Grenzwert von
g= [mm] \bruch{2}{\wurzel{3}}
[/mm]
Tippt man allerdings für die rekursiv definierte Folge an+1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}an^2 +1} [/mm] strebt diese nicht gegen den Grenzwert.
Das kann doch nicht sein, oder ?
Wäre nett wenn mir das jemand erklären würde...
|
|
| |
|
Huhu,
> Also man sollte ja immer mit der Grenzwertannahme starten.
Warum?
> Betrachtet man die Folge:
>
> a1=1 an+1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}an^2 +1}[/mm]
Wie wär es mal, den Editor zu benutzen, damit das ganze auch lesbar ist?
Ich vermute mal, du meinst:
[mm] $a_1 [/mm] = 1$, [mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{4}a_n^2 +1}$
[/mm]
> g= [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}g^2 +1}[/mm]
Unter der Annahme, dass ein Grenzwert existiert, ja.
> Also durch Umformung kommt man auf den Grenzwert von
>
> g= [mm]\bruch{2}{\wurzel{3}}[/mm]
Ja, WENN die Folge konvergiert, ist das der Grenzwert.
> Tippt man allerdings für die rekursiv definierte Folge
> an+1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}an^2 +1}[/mm] strebt diese nicht gegen den Grenzwert.
Was "tippt" man denn "für" eine Folge?
Der Satz ist leicht unverständlich.
> Das kann doch nicht sein, oder ?
Bisher hast du ja gar nicht gezeigt OB die Folge überhaupt konvergiert.
Noch kann also alles passieren.
MFG;
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:35 Sa 12.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Danke für die rasche Antwort in der späten Nacht.. =)
Ja, also ich habe die ML und demnach konvergiert das.
Also wenn ich dich richtig versteht konvergiert diese rekuriv definierte Folge, wenn überhaupt, wenn man Folgen für an einsetzt.
Also ich dachte die Folge müsste gegen den Grenzwert konvergieren, wenn ich z.B 1000 einsetze.
Wieso gilt das denn nicht. Welcher Gedanke steckt dahinter ?
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Also wenn ich dich richtig versteht konvergiert diese
> rekuriv definierte Folge, wenn überhaupt, wenn man Folgen
> für an einsetzt.
Die [mm] a_n's [/mm] sind doch feste Werte!
> Also ich dachte die Folge müsste gegen den Grenzwert
> konvergieren, wenn ich z.B 1000 einsetze.
Klar, wenn du das 1000.-te Folgenglied ausrechnest, ist das auch schon sehr nah am Grenzwert.
ABER: Du kannst da natürlich nirgendwo 1000 als Zahl einsetzen?
Wo auch?
Ich glaube du hast REKURSIV definierte Folgen noch nicht verstanden.....
Was ist denn [mm] $a_1, a_2, a_3$ [/mm] etc?
Was ist [mm] $a_{1000}$ [/mm] ?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:04 Sa 12.02.2011 | | Autor: | yuppi |
Ups, das mag wohl sein....
Wenn ich dich verstehe kann man für an nicht einfach 1000 eintippen, sondern muss sozusagen das mit a1, dann mit a2,,,, bis a 1000 machen, und dann kommt man auf diesen Grenzwert.
Sehr intressant, frage mich nur wofür man diese Rechnung gebrauchen kann..
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Wenn ich dich verstehe kann man für an nicht einfach 1000
> eintippen, sondern muss sozusagen das mit a1, dann mit
> a2,,,, bis a 1000 machen, und dann kommt man auf diesen
> Grenzwert.
Jop.
> Sehr intressant, frage mich nur wofür man diese Rechnung
> gebrauchen kann..
Wieso gebrauchen?
Folgen können nunmal auf 2 Arten definiert werden: Explizit und Rekursiv.
Es sind letztlich ja nur 2 unterschiedliche Darstellungen der selben Folge.
Bspw. kann ich die Folge
[mm] $a_n [/mm] = [mm] 2^n$ [/mm] explizit so definieren, oder ich definiere eben
[mm] $a_0 [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2*a_n$
[/mm]
Beides definiert mir dieselbe Folge. Es gibt halt nur Untersuchungen, da bietet sich die eine Darstellung an, und bei anderen die andere.
MFG,
Gono.
|
|
|
|
