Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Brandon |
| Aufgabe | [mm] a_{0}=5
[/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n}}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{a_{n}}
[/mm]
(i) Ist die Folge monoton?
(ii) Ist die Folge beschränkt? Wenn ja, geben Sie eine obere und eine untere Schranke
an!
(iii) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge [mm] a_{n}. [/mm] |
Hier meine Lösungsvorschläge:
Folge:
[mm] a_{n} [/mm] = (5; 2,9; 2,14; 2,004; 2;2;2;...)
i) [mm] a_{1} \ge a_{2} [/mm] d.h. monoton fallend
ii) [mm] a_{n} \le [/mm] S = 5 = obere Schranke
[mm] a_{n} \ge [/mm] s = 2 = untere Schranke
iii) Beh. [mm] \limes_{n\rightarrow\2 } a_{n} [/mm] = 2 (limes n gegen 2, die 2 schreibt er irgendwie nicht hin)
einsetzen. Bew.: [mm] \bruch{2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{2} [/mm] = 2
Ist das alles soweit richtig?
Gruß Brandon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Brandon!
Als Aussage ist das schon richtig, was du schreibst. Aber keines davon sind jeweils richtige Beweise.
Verwende hier jeweils vollständige Induktion bzw. betrachte für die Montonie den Ausdruck [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Brandon |
gegeben habe ich [mm] a_{0} [/mm] und [mm] a_{n+1}
[/mm]
aber wie rechne ich denn dann [mm] a_{n} [/mm] aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Brandon,
einfach in der Definition von [mm] a_{n+1} [/mm] n+1 durch n ersetzen, bzw alle n durch n-1.
Also [mm] a_n=\bruch{a_{n-1}}{2}+\bruch{2}{a_{n-1}}
[/mm]
LG walde
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