Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 Mi 20.02.2008 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Es sei eine rekursiv definierte Folge
[mm] a(n):=\bruch{a²_{n-1}+1}{2}, n\in \IN
[/mm]
(i) Nehmen Sie an, dass a(n) -> a für [mm] n->\infty. [/mm] Wie lautet a?
(ii) Leiten Sie [mm] a_{n-1}\in(-1,1) [/mm] => [mm] a_{n}\in(a_{n-1},1) [/mm] für alle n her.
(iii) Zeigen Sie unter Benutzung von (ii), dass tatsächlich [mm] a_{n} [/mm] -> a, wenn [mm] a_{0}:=0 [/mm] gesetzt ist. |
Mein Lösungsvorschlag zu (i) und (ii), bei (iii) komm ich nicht so richtig weiter.
(i) a = [mm] \bruch{a²+1}{2} [/mm]
<=> 2a - a² = 1
<=> (a-1)² = 0
d.h. a=1 und a=-1
Dies sind die Grenzwerte.
(ii) Hier hab ich mittels vollständiger Induktion versucht zu zeigen, dass die Gleichung erfüllt ist...so in etwa:
IA : n=1 .... [mm] a_{0} \in [/mm] (-1,1)
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\in(-1,1) [/mm] <- korrekt
IS : (IV) [mm] a_{n-1} \in [/mm] (-1,1)
(IB) [mm] a_{n} \in [/mm] (-1,1)
Beweis:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a²_{n-1}+1}{2} [/mm] ist nach IV > 1 > -1
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a²_{n-1}+1}{2} [/mm] ist nach IV < 1
Also : -1 < [mm] a_{n} [/mm] < 1
Bin mir nicht so sicher ob da nicht vllt noch was fehlt?
(iii) Hier weiß ich gar nicht so wirklich wie ich anfangen soll?!
vielleicht [mm] a_{0} [/mm] : = 0 setzen, sodass [mm] a_{0} \in (a_{n-1},1)
[/mm]
a(0) = [mm] \bruch{1}{2}\in (a_{n-1},1) [/mm] -> [mm] a_{n} [/mm] \ in (-1,1) ???
Das ist bestimmt total falsch!
Danke!
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Hallo.
Also zur ersten Teilaufgabe:
Grenzwerte hat eine Folge nicht, denn der Grenzwert ist eindeutig das heißt es gibt nur einen(wenn es mehrere gibt, dann nennt man die "Grenzwerte" Häufungspunkte). Bei a) hast du dich verrechnet. Es gibt nur einen(Ist -1 Nullstelle von [mm] $(a-1)^2$?)
[/mm]
Zu b)
Jetzt setzten wir voraus dass [mm] $-1
So jetzt brauchen wir noch die Untere Abschätzung d.h. [mm] a_{n-1}
Um das ohne Induktion zu machen, würde ich jetzt zwei Fälle unterscheiden. Sei jetzt [mm] a_{n-1}:=c \in [/mm] (-1,1) beliebig.
Fall 1: c<0. Dann ist [mm] a_{n}=\bruch{c^2+1}{2}>0 [/mm] also [mm] a_{n}>a_{n-1}
[/mm]
Fall 2: c=0. Dann ist [mm] a_{n}=\bruch{1}{2}>0 [/mm] also [mm] a_{n}>a_{n-1}. [/mm]
Fall 3: c>0 Dann ist [mm] a_{n} [/mm] Dann ist [mm] a_{n}=\bruch{c^2+1}{2}>0. [/mm] Dass ist aber auch >c denn die gleichung [mm] (c-1)^2=0 [/mm] (das ist [mm] \bruch{c^2+1}{2}-c=0) [/mm] besitzt nur c=1 also Nullstelle aber c<1 also keine Nullstelle. Der Graph ist im Intervall $(-1,1)$ stehts positiv also [mm] a_{n}>a_{n-1}. [/mm]
Bei dritten musst du einfach den satz verwenden, dass ein folge konvergent ist(d.h [mm] \exists! [/mm] a: [mm] \limes_{n\rightarrow \infty} a_{n}=a), [/mm] wenn sie beschränkt und monoton ist. Da 0 [mm] \in [/mm] (-1,1) bekommst du das aus b ganz leicht raus.
Einen schönen Tach noch und freundliche Grüße
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