Rekursiv definierte Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mo 21.01.2008 | | Autor: | jeada |
| Aufgabe | Man untersuche die Folge [mm] a_{n} [/mm] (mit Hilfe vollständiger Indutkion) auf Monotonie und Beschränktheit und bestimmte gegebenfalls mit Hilfe der bekannten Rechenregeln für Grenzwerte den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}.
[/mm]
[mm] a_{0} [/mm] = 2, [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel[2]{a_{n}+1} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] 0. |
Hallo,
ich habe ein paar Schwierigkeiten mit diesem Beispiel. Zunächst einmal hier mein Lösungsansatz:
1) Einsetzen einiger Werte um ein Gefühl für die Folge zu bekommen
[mm] a_{0} [/mm] = 2
[mm] a_{1} [/mm] = [mm] a_{0+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{0} + 1} [/mm] = [mm] \wurzel{2 + 1} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] = 1.732
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] a_{1+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{1} + 1} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{3}+1} [/mm] = 1.652
[mm] a_{3} [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{\wurzel{3} + 1} + 1} [/mm] = 1.628
Meine Annahme ist, dass die Folge monton fallend ist.
2) Induktion
Zunächst umformen auf [mm] a_{n} [/mm] = :
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{a_{n} + 1}
[/mm]
[mm] a_{n+1}^{2} [/mm] = [mm] a_{n} [/mm] + 1
[mm] a_{n+1}^{2} [/mm] - 1 = [mm] a_{n}
[/mm]
IA: [mm] a_{0} [/mm] = [mm] (\wurzel{3})^{2} [/mm] - 1 = 2 OK
IV: [mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] da monoton fallend
IS: [mm] a_{n+2} \le a_{n+1}
[/mm]
[mm] \wurzel{a_{n+1}+1} \le \wurzel{a_{n}+1}
[/mm]
[mm] a_{n+1}+1 \le a_{n} [/mm] + 1
[mm] a_{n+1} \le a_{n} [/mm] OK
3) Beschränktheit
Eine obere Schranke wäre 2 wie man leicht aus der Angabe erkennt.
Eine untere Schranke wäre 0, da [mm] \wurzel{x} [/mm] immer > 0 für positive x.
4) Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = [mm] inf{a_{n}}
[/mm]
Nun zu meinen Fragen: 1) Ist die Induktion korrekt?, 2) Ich hab zwar Schranken gefunden, das sind jedoch nicht die kleinst und größt möglichen. Also habe ich weder das Infimum noch das Supremum gefunden - wie stelle ich das denn an? Vorallem das Infimum interessiert mich, da das ja mein Grenzwert für Punkt 4) wäre.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke im Vorraus.
lg, Jeada
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Hallo jeada,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Sieh mal hier; da wurde diese Folge ausführlich besprochen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | jeada |
danke sehr!
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