Rekursionsgl. für Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 28.11.2009 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | | Leiten Sie eine Rekursionsgleichung für [mm] I_{n}:=\integral_{0}^{\infty}{x^{2*n+1}*e^{-a*x^{2}} dx} [/mm] mit [mm] n\in\IN [/mm] und a>0 her. Bestimmen Sie außerdem [mm] I_{0} [/mm] explizit. |
So, [mm] I_{0} [/mm] zu bestimmen ist ja noch einfach. Das ist nämlich [mm] \bruch{1}{2*a}.
[/mm]
Aber die Rekursionsgleichung zu bestimmen, ist irgendwie nicht so leicht. Wahrscheinlich gehe ich einfach falsch an die Sache heran. Wie bestimme ich denn [mm] I_{n+1} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] I_{n}?
[/mm]
Die Aufgabe steht unter dem Titel "Partielle Integration", also habe ich versucht, [mm] I_{n} [/mm] partiell zu integrieren, was aber nicht wirklich klappt, da ich den Exponentialteil ja als abzuleitendes Glied zu nehmen habe, da man es nicht einzeln integrieren kann...
Also habe ich mir einfach mal die Werte von [mm] I_{n} [/mm] für die ersten n angeguckt:
n=0 [mm] \bruch{1}{2*a}
[/mm]
n=1 [mm] \bruch{1}{2*a^{2}}
[/mm]
n=2 [mm] \bruch{1}{a^{3}}
[/mm]
n=3 [mm] \bruch{3}{a^{4}}
[/mm]
n=4 [mm] \bruch{12}{a^{5}}
[/mm]
Dss sieht ja mehr oder weniger regelmäßig aus (zumindest der Exponent...) Aber danach spuckt das CAS als Wert für [mm] I_{n} [/mm] nichts Vernünftiges mehr aus (gamma???).
Wie gehe ich denn nun an die Sache richtig heran?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo valoo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aber die Rekursionsgleichung zu bestimmen, ist irgendwie
> nicht so leicht. Wahrscheinlich gehe ich einfach falsch an
> die Sache heran. Wie bestimme ich denn [mm]I_{n+1}[/mm] in
> Abhängigkeit von [mm]I_{n}?[/mm]
> Die Aufgabe steht unter dem Titel "Partielle Integration",
> also habe ich versucht, [mm]I_{n}[/mm] partiell zu integrieren, was
> aber nicht wirklich klappt, da ich den Exponentialteil ja
> als abzuleitendes Glied zu nehmen habe, da man es nicht
> einzeln integrieren kann...
Ja, gut beobachtet. Und woran scheitert es dann? Du sollst das Integral ja gar nicht explizit bestimmen, sondern "nur" eine Rekursionsformel finden. Wenn das Integral auf der linken Seite [mm] I_n [/mm] ist, erkennst Du dann in dem Integral auf der rechten Seite entweder [mm] I_{n-1} [/mm] oder [mm] I_{n+1} [/mm] wieder, vielleicht noch durch konstante Summanden oder Faktoren verändert? Wenn ja, dann bist Du eigentlich schon fertig.
> Also habe ich mir einfach mal die Werte von [mm]I_{n}[/mm] für die
> ersten n angeguckt:
> n=0 [mm]\bruch{1}{2*a}[/mm]
>
> n=1 [mm]\bruch{1}{2*a^{2}}[/mm]
>
> n=2 [mm]\bruch{1}{a^{3}}[/mm]
>
> n=3 [mm]\bruch{3}{a^{4}}[/mm]
>
> n=4 [mm]\bruch{12}{a^{5}}[/mm]
> Dss sieht ja mehr oder weniger regelmäßig aus (zumindest
> der Exponent...) Aber danach spuckt das CAS als Wert für
> [mm]I_{n}[/mm] nichts Vernünftiges mehr aus (gamma???).
> Wie gehe ich denn nun an die Sache richtig heran?
![[]](/images/popup.gif) Gammafunktion? Bisher sieht es doch einfach so aus, als wäre [mm] I_n=\bruch{n}{a}I_{n-1}
[/mm]
Vielleicht ist das ja auch ein Hinweis für die partielle Integration... 
Zeig doch mal Deine Rechnung, falls Du nicht weiterkommst.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:45 So 29.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo,
vielleich tut sich ja hier etwas, die Fragen sind nämlich identisch.
lg
reverend
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