Rekursionsformel v. Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Do 19.04.2012 | | Autor: | tonno |
| Aufgabe | | Ermitteln Sie die zu [mm] I_n=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n*\sin(x) dx} [/mm] gehörige Rekursionsformel mittels partieller Integration. |
An sich ist alles klar. Um eine anständige Rekursionsformel zu erhalten ist die partielle Integration 2mal durchzuführen, oder?
Meine Wahl für [mm] \integral{u'v}=uv-\integral{uv'} [/mm] ist [mm] v=(1-x)^{n+1} [/mm] und [mm] u'=\sin(x) [/mm] für die 1. Integration sowie [mm] v=(1-x)^n [/mm] und [mm] u'=\cos(x) [/mm] für die 2. Integration.
Damit komme Ich auf:
[mm] I_{n+1}=-(1-x)^n((1-x)\cos(x)+(n+1)\sin(x))-n(n+1)*I_{n-1}
[/mm]
Eine einfache Rekursionsformel sieht wohl anders aus. Stimmt schon der Ansatz nicht oder muss ich nur besser zusammenfassen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Do 19.04.2012 | | Autor: | tonno |
Bisheriger Weg:
[mm] I_{n+1}=\integral_{0}^{1}{(1-x)^{n+1}\sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =-(1-x)^{n+1}\cos(x)-(n+1)\integral_{0}^{1}{(1-x)^n\cos(x)dx}
[/mm]
[mm] =-(1-x)^{n+1}\cos(x)-(n+1)[(1-x)^n\sin(x)+n\integral_{0}^{1}{(1-x)^{n-1}\sin(x)dx}]
[/mm]
[mm] =-(1-x)^n[(1-x)\cos(x)+(n+1)\sin(x)]-n(n+1)I_{n-1}
[/mm]
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Hallo tonno,
> Ermitteln Sie die zu [mm]I_n=\integral_{0}^{1}{(1-x)^n*\sin(x) dx}[/mm]
> gehörige Rekursionsformel mittels partieller Integration.
> An sich ist alles klar. Um eine anständige
> Rekursionsformel zu erhalten ist die partielle Integration
> 2mal durchzuführen, oder?
>
Richtig.
> Meine Wahl für [mm]\integral{u'v}=uv-\integral{uv'}[/mm] ist
> [mm]v=(1-x)^{n+1}[/mm] und [mm]u'=\sin(x)[/mm] für die 1. Integration sowie
> [mm]v=(1-x)^n[/mm] und [mm]u'=\cos(x)[/mm] für die 2. Integration.
>
> Damit komme Ich auf:
>
> [mm]I_{n+1}=-(1-x)^n((1-x)\cos(x)+(n+1)\sin(x))-n(n+1)*I_{n-1}[/mm]
>
Die Rekursionsformel lautet doch zunächst:
[mm]I_{n+1}=\left\blue{(} \ -(1-x)^n((1-x)\cos(x)+(n+1)\sin(x) \ \blue{)} \ \right|_{0}^{1}-n(n+1)*I_{n-1}[/mm]
> Eine einfache Rekursionsformel sieht wohl anders aus.
> Stimmt schon der Ansatz nicht oder muss ich nur besser
> zusammenfassen?
Hier musst Du nur zusammenfassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Fr 20.04.2012 | | Autor: | tonno |
Danke für den Hinweis, hatte ich ganz vergessen. Damit komme Ich schlussendlich auf:
[mm] I_{n+1}=1-n(n+1)I_{n-1}
[/mm]
Mir gefällt nur nicht, dass Ich damit 1 Stelle innerhalb der Folge - also ein Folgenglied - überspringe. Ginge auch folgender Ansatz? :
[mm] I_{n+1}=\integral_{0}^{1}{(1-x)(1-x)^n\sin(x) dx}
[/mm]
[mm] =I_n-\integral_{0}^{1}{x(1-x)^n\sin(x) dx}
[/mm]
Nur scheint mir der Aufwand für die darauf folgende partielle Integration recht groß. Denn dann:
[mm] =I_n-[x\integral_{0}^{1}{(1-x)^n\sin(x) dx}]_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{(1-x)^n\sin(x) dx}) dx}
[/mm]
Noch andere Wege? Oder muss Ich mich mit der ersten Lösung zufrieden geben?
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Hallo tonno,
> Danke für den Hinweis, hatte ich ganz vergessen. Damit
> komme Ich schlussendlich auf:
> [mm]I_{n+1}=1-n(n+1)I_{n-1}[/mm]
>
> Mir gefällt nur nicht, dass Ich damit 1 Stelle innerhalb
> der Folge - also ein Folgenglied - überspringe. Ginge auch
Das kommt von der zweimaligen partiellen Integration.
> folgender Ansatz? :
>
> [mm]I_{n+1}=\integral_{0}^{1}{(1-x)(1-x)^n\sin(x) dx}[/mm]
>
> [mm]=I_n-\integral_{0}^{1}{x(1-x)^n\sin(x) dx}[/mm]
>
> Nur scheint mir der Aufwand für die darauf folgende
> partielle Integration recht groß. Denn dann:
> [mm]=I_n-[x\integral_{0}^{1}{(1-x)^n\sin(x) dx}]_{0}^{1}-\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1}{(1-x)^n\sin(x) dx}) dx}[/mm]
>
> Noch andere Wege? Oder muss Ich mich mit der ersten Lösung
> zufrieden geben?
Dann musst Du Dich mit der ersten Lösung zufrieden geben.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Sa 21.04.2012 | | Autor: | tonno |
Der erste Ansatz hat dann doch gereicht. Danke für die Hilfe! Schönes Wochenende noch.
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