Rekursionsformel, Partielle I. < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Mo 16.07.2012 | | Autor: | mesmo |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale
[mm] I_{n} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}, n\in \IN/(0)
[/mm]
die Rekursionsformel
[mm] I_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n}, [/mm]
[mm] I_{1} [/mm] =arctan(x)
gilt |
Hallo,
ich habe versucht es durch Partielle Integration zu lösen, könnte aber nicht auf dieses Ergebnis kommen. Auf der Suche habe ich folgende identische Aufgabe gefunden, aber ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis.
identische Aufgabe
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Danke im Voraus
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Hallo mesmo,
> Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale
>
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}, n\in \IN/(0)[/mm]
>
> die Rekursionsformel
>
> [mm]I_{n+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n},[/mm]
>
> [mm]I_{1}[/mm] =arctan(x)
>
> gilt
>
>
> Hallo,
>
> ich habe versucht es durch Partielle Integration zu lösen,
> könnte aber nicht auf dieses Ergebnis kommen. Auf der
> Suche habe ich folgende identische Aufgabe gefunden, aber
> ich komme irgendwie nicht auf das Ergebnis.
> identische Aufgabe
>
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Dann rechne Deine partielle Integration mal vor.
Und am besten auch das Ergebnis für [mm] I_1.
[/mm]
Sonst werden wir Dir nicht helfen können. Wie auch?
Grüße
reverend
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 05:11 Mo 16.07.2012 | | Autor: | mesmo |
Ich würde für [mm] I_{1} [/mm] wie folgt vorgehen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^{2}}+2*\integral_{}^{}{\bruch{x^{2}}{(x^{2} +1)^{2}} dx} [/mm]
= [mm] \bruch{x}{1+x^{2}}+2*[{\bruch{x^{3}}{3}*\bruch{x^{2}}{(1+x^2)^{2}}}]-\integral_{}^{}\bruch{x^{3}}{3}* \bruch{4x(x^{2} -1)}{(x^{2} +1)^{3}} [/mm] dx = ...
es muss arctan geben, aber irgendwie geht es in eine andere Richtung.
Die alternative wäre x durch tan(x) zu ersetzen, dies wurde in dem Link gemacht, aber da weiss ich auch nicht ab wo ich anders vorgehen sollte, weil das Vorgehen dort alles stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:20 Mi 18.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Beweisen Sie, dass für die unbestimmten Integrale
>
> [mm]I_{n}[/mm] = [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{(x^{2} +1)^{n}} dx}\quad,\quad n\in \IN/(0)[/mm]
Ich schreibe die Bedingung für n mal noch korrekt hin:
$\ n\ [mm] \in\ \IN \backslash \{0\}$
[/mm]
> die Rekursionsformel
>
> [mm]I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}*\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}*I_{n},[/mm]
>
> [mm]I_{1}[/mm] =arctan(x)
>
> gilt
Guten Tag mesmo,
da eine Formel vorgegeben wird, könntest du für deren
Nachweis (falls sie überhaupt stimmt) einfach ihre Ableitung
berechnen und geeignet umformen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:27 Mo 16.07.2012 | | Autor: | mesmo |
Hallo Al Chwarizmi,
vielen dank fürs Antworten, aber auch wenn ich es ableite, kommt etwas anderes raus. Kannst du mir nochmal den Term, den ich ableiten muss. Vielleicht bastele ich die falsche Sachen zusammen.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hallo Al Chwarizmi,
> vielen dank fürs Antworten, aber auch wenn ich es
> ableite, kommt etwas anderes raus. Kannst du mir nochmal
> den Term, den ich ableiten muss. Vielleicht bastele ich die
> falsche Sachen zusammen.
Geh von der Gleichung
$\ I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}\cdot{}\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}+\bruch{2n-1}{2n}\cdot{}I_{n} $
aus und bilde beidseitig die Ableitung nach x, also:
$\ \frac{d}{dx}\ I_{n+1}\ =\ \bruch{1}{2n}\cdot{}\underbrace{\left(\bruch{x}{(x^{2}+1)^{n}}\right)'}_{Quotientenregel\ !}\ +\ \bruch{2n-1}{2n}\cdot{}\underbrace{\left(I_{n}\right)'}_{\frac{1}{(x^2+1)^n}} $
Fasse dann zusammen und zeige, dass man dabei auf das
Ergebnis $\frac{1}{(x^2+1)^{n+1}$ kommt !
LG Al-Chwarizmi
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