Rekursion, geschlossene Form < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Do 21.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe die Rekursion
[mm] $S_{n}=\frac{n-1}{2}S_{n-2}+\frac{B}{2}S_{n-1}$, $n\in\IN$, $n\ge [/mm] 2$
gegeben, bei der [mm] $S_0$ [/mm] und [mm] $S_1$ [/mm] bekannt sind. Ich benoetige von [mm] $S_n$ [/mm] eine Darstellung, die ausschliesslich von [mm] $S_0$ [/mm] und [mm] $S_1$ [/mm] abhaengig ist, aber bislang sind alle meine Versuche gescheitert.
Hat jemand von Euch eine Idee?
Vielen Dank
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Falls dir dies etwas hilft:
ich habe mal einige [mm] S_n [/mm] berechnet:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Do 21.07.2011 | | Autor: | wauwau |
Wenn man die methode der exponentiell erzeugenden Funktionen anwendet, so sind die [mm] S_i [/mm] genau die koeffizienten der Taylorentwicklung der Funktion F, die die folgende Differentialgleichung erfüllt
[mm] $F''(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'+\frac{B}{2}F$
[/mm]
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> Wenn man die methode der exponentiell erzeugenden
> Funktionen anwendet, so sind die [mm]S_i[/mm] genau die
> koeffizienten der Taylorentwicklung der Funktion F, die die
> folgende Differentialgleichung erfüllt
>
> [mm]F''(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'+\frac{B}{2}F[/mm]
Hallo wauwau,
nur eine kleine Frage, was die Klammer betrifft:
was ist nun gemeint,
1.) [mm]F''(x)*(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'(x)+\frac{B}{2}F(x)[/mm]
oder
2.) [mm]F''(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'(x)+\frac{B}{2}F(x)[/mm]
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:05 Fr 22.07.2011 | | Autor: | wauwau |
Version 1 meinte ich
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Hallo wauwau,
> Version 1 meinte ich
also $ [mm] F''[x]\cdot{}(1-\frac{x}{2})\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}F'[x]+\frac{B}{2}F[x] [/mm] $
(jetzt der Klarheit halber gemäß Mathematica beklammert)
Danke !
Ich habe nun mal die DGL Mathematica gefüttert. Was
dabei herauskommt, ist in allgemeiner Form, aber auch
noch dann, wenn man einen konkreten Wert für B
einsetzt, eher furchterregend ...
[Dateianhang nicht öffentlich]
und jetzt noch dafür eine Taylorentwicklung erstellen ...
das kann ja heiter werden. 
Übrigens habe ich auch die andere DGL, also
$ [mm] F''[1-\frac{x}{2}]\ [/mm] =\ [mm] \frac{1}{2}F'[x]+\frac{B}{2}F[x] [/mm] $
Mathematica vorgelegt. Dies wird aber gar nicht als
Differentialgleichung akzeptiert ...
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Fr 22.07.2011 | | Autor: | wauwau |
und in formal in Taylorreihen entwickeln kann Mathematica nicht??
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> und in formal in Taylorreihen entwickeln kann Mathematica
> nicht??
Bestimmt - aber ich bin in Mathematica immer wieder etwas
ungelenk, wenn es um was geht, das mir neu ist. An Lösungs-
wegen, die dann zwar M. ausführt, die ich aber nicht wirklich
verstehe, bin ich auch nicht sonderlich interessiert.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mi 27.07.2011 | | Autor: | wauwau |
was sagt Mathematica dazu
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> was sagt Mathematica dazu ?
Hier mal das Taylorpolynom [mm] T_6 [/mm] der Funktion F :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe noch versucht, den allgemeinen Koeffizienten [mm] a_k
[/mm]
dieser Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_k*x^k [/mm] darzustellen zu lassen, aber dies
ist mir nicht gelungen. Es bleibt ein unausgeführter Term mit
der n-ten Ableitung der Funktion F stehen. Die Funktion F
enthält dabei mehrfach die Erf-Funktion (Fehlerfunktion).
LG Al
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:14 Do 21.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Wenn man die methode der exponentiell erzeugenden
> Funktionen anwendet, so sind die [mm]S_i[/mm] genau die
> koeffizienten der Taylorentwicklung der Funktion F, die die
> folgende Differentialgleichung erfüllt
>
> [mm]F''(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'+\frac{B}{2}F[/mm]
Hallo,
könntest Du mir kurz erklären, wie Du auf die Differentialgleichung gekommen bist?
Mein Wunsch ist es eigentlich eine folgende Darstellung zu erhalten:
[mm] $S_n=\left(\sum_{i=0}^{n-1}a_iB^i\right)S_0+\left(\sum_{i=0}^{n-1}b_iB^i\right)S_1$
[/mm]
bei der ich die [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] bestimmen möchte. Hierbei sollte man die Fallunterscheidungen $n$ gerade bzw. ungerade machen. In Abhängigkeit davon wird die erste Summe nur über die geraden und die zweite über die ungerade $i$ summiert bzw. im Fall $n$ ungerade umgekehrt.
Vielleicht hilft mir jedoch die von Dir erwähnte Methode, um an die [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_i$ [/mm] heranzukommen.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Fr 22.07.2011 | | Autor: | wauwau |
exponentiell erzeugende Funktion $F$ der Folge [mm] $(S_n)_{\IN}$
[/mm]
$F(x) = [mm] \sum_{i=0}^{\infty} \frac{S_ix^i}{i!}$
[/mm]
wenn Du nun Deine Rekursion durch (n-1)! dividierst und mit [mm] x^{n-2} [/mm] multiplizierst und dann Aufsummiertst von n=2 bis [mm] \infty
[/mm]
Und dann formal die einzelnen Summen als Ableitung bzw Integrale der erz. Funktion betrachtest, kommst du auf die von mir angegeben Differentialgleichung...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 25.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> exponentiell erzeugende Funktion [mm]F[/mm] der Folge [mm](S_n)_{\IN}[/mm]
>
> [mm]F(x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{S_ix^i}{i!}[/mm]
>
> wenn Du nun Deine Rekursion durch (n-1)! dividierst und mit
> [mm]x^{n-2}[/mm] multiplizierst und dann Aufsummiertst von n=2 bis
> [mm]\infty[/mm]
> Und dann formal die einzelnen Summen als Ableitung bzw
> Integrale der erz. Funktion betrachtest, kommst du auf die
> von mir angegeben Differentialgleichung...
Irgendwie mache ich einen Fehler, bei der von Dir beschriebenen Vorgehensweise: Seien [mm] $S_0$, $S_1$ [/mm] und die Rekursion
[mm] $S_n=\frac{n-1}{2}S_{n-2}+\frac{B}{2}S_{n-1}$, $n\in\IN$, $n\geqslant [/mm] 2$ (REK)
gegeben. Exponentiell erzeugende Funktion $F(x)$ der Folge [mm] $(S_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
[mm] $F(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{S_n}{n!}x^n$
[/mm]
Ziel: Die Differentialgleichung
[mm] $F''(x)\cdot\left(1-\frac{x}{2}\right)=\frac{1}{2}F'(x)+\frac{B}{2}F(x)$
[/mm]
Loesung:
1. Dividiere (REK) durch $(n-1)!$
[mm] $\frac{S_n}{(n-1)!}=\frac{n-1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-1)!}+\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}=\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}+\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}$
[/mm]
2. Multipliziere mit [mm] $x^{n-2}$
[/mm]
[mm] $\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-2}=\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}x^{n-2}+\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-2}$
[/mm]
3. Summiere von $2$ bis [mm] $\infty$
[/mm]
[mm] $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}x^{n-2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-2}$
[/mm]
Hierbei ist der 1. Summand auf der rechten Seite
[mm] $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}x^{n-2}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{S_n}{n!}x^n=\frac{1}{2}F(x)$
[/mm]
Nun verstehe ich nicht, wie ich die obige Differentialgleichung erhalte.
Ich waere jedem dankbar, der mir an dieser Stelle weiterhelfen koennte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mi 27.07.2011 | | Autor: | wauwau |
$ [mm] \sum_{n=2}^{\infty}\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}x^{n-2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-2} [/mm] $
$F'(x) = [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-1}$
[/mm]
also ist die linke Summe ja
[mm] \frac{1}{x}(F'(x)-S_1)
[/mm]
die äußerst rechte summe daher
[mm] \frac{B}{2x}(F(x)-S_0)
[/mm]
also insgesamt die Differentialgleichung
[mm] \frac{1}{x}(F'(x)-S_1) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}F(x) [/mm] + [mm] \frac{B}{2x}(F(x)-S_0)
[/mm]
(da hab ich mich vielleicht bei meiner ersten Antwort verrechnet)
Und da hast du dann deine Differentialgleichung, der Koeffizienten der (formalen - ohne Konvergenzbetrachtungen) Taylorentwicklung die [mm] S_n [/mm] sind
$2F'(x) = F(x)(x+B) + [mm] 2S_1-BS_0$
[/mm]
und die schaut schon schöner aus als meine (bitte alles nochmal nachrechnen)
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>
> [mm]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-2}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2}\frac{S_{n-2}}{(n-2)!}x^{n-2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{B}{2}\frac{S_{n-1}}{(n-1)!}x^{n-2}[/mm]
>
> [mm]F'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{S_n}{(n-1)!}x^{n-1}[/mm]
> also
> ist die linke Summe ja
> [mm]\frac{1}{x}(F'(x)-S_1)[/mm]
>
> die äußerst rechte summe daher
> [mm]\frac{B}{2x}(F(x)-S_0)[/mm]
>
> also insgesamt die Differentialgleichung
> [mm]\frac{1}{x}(F'(x)-S_1)[/mm] = [mm]\frac{1}{2}F(x)[/mm] +
> [mm]\frac{B}{2x}(F(x)-S_0)[/mm]
>
> (da hab ich mich vielleicht bei meiner ersten Antwort
> verrechnet)
> Und da hast du dann deine Differentialgleichung, der
> Koeffizienten der (formalen - ohne Konvergenzbetrachtungen)
> Taylorentwicklung die [mm]S_n[/mm] sind
>
> [mm]2F'(x) = F(x)(x+B) + 2S_1-BS_0[/mm]
Hallo wauwau,
ich habe die Methode mit der DGL noch nicht ganz
verstanden. Zum Beispiel frage ich mich jetzt noch,
wie ich in deren Lösung den Wert der Integrations-
konstante festlegen soll.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mi 27.07.2011 | | Autor: | wauwau |
Anfangswert [mm] F(0)=S_0 [/mm] nehmen...
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> Anfangswert [mm]F(0)=S_0[/mm] nehmen...
Danke.
Hätte ich selber merken sollen ...
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 25.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Di 26.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
> Wenn man die methode der exponentiell erzeugenden
> Funktionen anwendet, so sind die [mm]S_i[/mm] genau die
> koeffizienten der Taylorentwicklung der Funktion F, die die
> folgende Differentialgleichung erfüllt
>
> [mm]F''(1-\frac{x}{2})=\frac{1}{2}F'+\frac{B}{2}F[/mm]
Hallo wauwau,
die von Dir angegebene DGL ist leider falsch!
Aber aufgrund Deiner zahlreichen Tipps, habe ich die DGL nun aufgestellt. Diese lautet:
[mm] $F''(x)=\left[\frac{B+x}{2}\right]\cdot F'(x)+\frac{1}{2}\cdot [/mm] F(x)$
mit den Anfangsbedingungen
[mm] $F(0)=S_0$ [/mm] und [mm] $F'(0)=S_1$.
[/mm]
Vielen Dank nochmals.
-> Dieser Threat kann nun geschlossen werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Do 21.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn Du für die Differenzengleichung den Ansatz [mm] S_n=\lambda^n [/mm] wählst kommst Du auf folgende Gleichung für [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \lambda^2-\bruch{B}{2}*\lambda-\bruch{n-1}{2}=0
[/mm]
Das ergibt als Lösung [mm] \lambda_{1,2}=\bruch{B}{4}\pm\bruch{\wurzel{B^2+8n-8}}{4}
[/mm]
und die allgemeine Lösung für [mm] S_n [/mm] lautet [mm] S_n=a*\lambda_1^n+b*\lambda_2^n
[/mm]
Bei vorgegebenen Anfngsbedingungen [mm] S_0 [/mm] und [mm] S_1 [/mm] ergibt sich folgendes Gleichungssystem
[mm] S_0=a+b [/mm] und [mm] S_1=a*\lambda_1+b*\lambda_2 [/mm] falls [mm] \lambda_1\ne\lambda_2 [/mm] und [mm] \lambda_{1,2}\in\IR [/mm] gilt und damit
[mm] a=-\bruch{\lambda_1}{\lambda_0-\lambda_1}*S_0+\bruch{1}{\lambda_0-\lambda_1}*S_1
[/mm]
[mm] b=\bruch{\lambda_0}{\lambda_0-\lambda_1}*S_0-\bruch{1}{\lambda_0-\lambda_1}*S_1
[/mm]
Der Fall von komplexen Lösungen und [mm] \lambda_1=\lambda_2 [/mm] muss separat behandelt werden.
Im Fall von komplexen Lösungen gilt [mm] S_n=a*\lambda_1^n+b*\overline\lambda_1^n [/mm] und bei gleichen Lösungen gilt
[mm] S_n=a*\lambda_1^n+b*n*\lambda_1^n
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Fr 22.07.2011 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> (...)
>
> Das ergibt als Lösung
> [mm]\lambda_{1,2}=\bruch{B}{4}\pm\bruch{\wurzel{B^2+8n-8}}{4}[/mm]
>
> und die allgemeine Lösung für [mm]S_n[/mm] lautet
> [mm]S_n=a*\lambda_1^n+b*\lambda_2^n[/mm]
>
> (...)
Wenn ich das richtig sehe, suchst Du konstante [mm] $\lambda_{1,2}$, [/mm] oder? Jedoch haengen diese bei Dir von $n$ ab!! Deine allgemeine Loesung muesste demnach
[mm] $S_n=a*\lambda_1^n(n)+b*\lambda_2^n(n)$
[/mm]
aussehen. Insbesondere folgt daraus, dass die Koeffizienten nun auch $n$-abhaengig werden. Hilft mir das tatsaechlich weiter?
[mm] $\lambda_i=\lambda_i(i)$ [/mm] ist glaube ich genau das, was Du nicht moechtest. Ich meine, dass man fuer diesen Ansatz konstante [mm] $\lambda_{1,2}$ [/mm] benoetigt.
Koenntest Du mir etwas dazu sagen?
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Fr 22.07.2011 | | Autor: | wauwau |
die von Ullim erwähnte Methode funkt nur bei linearen Differenzengleichungen....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Sa 23.07.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja da hast Du recht, das habe ich übersehen und erst später gemerkt. Danke für den Hinweis.
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