Rekursion - explizite Formel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo jboss!
> Aufgabe 1)
> Geben Sie eine explizite Formel für die beiden rekursiv
> definierten Folgen an:
> i) [mm]a_0 := 1, a_1 := 2, a_{n+2} := a_{n+1} * a_n[/mm]
> ii) [mm]a_0 := 1, a_{n+1} := \sqrt{(a_n)^2 + 3}[/mm]
>
> Aufgabe 2)
> Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] sei durch [mm]a_0 := 0, a_{n+1} := 2a_n + 1[/mm]
> definiert. Bestimmen Sie die gewöhnliche und die
> exponentielle erzeugende Funktion der Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> Hallo zusammen,
> obige Aufgabe zum Thema Rekursion sind also zu bearbeiten
> 
> Aufgabe 1.ii habe ich meines Erachtens richtig gelöst.
> Kann aber nicht schaden sich das nochmal (hoffentlich)
> bestätigen zu lassen
> Also zuallererst habe ich mir einige Folgenglieder
> ausgerechnet:
> [mm]a_0 = 1[/mm]
> [mm]a_1 = ... = \sqrt{4}[/mm]
> [mm]a_2 = ... = \sqrt{7}[/mm]
> [mm]a_3 = ... = \sqrt{10}[/mm]
>
> [mm]a_4 = ... = \sqrt{13}[/mm]
> [mm]a_5 = ... = \sqrt{16}[/mm]
> [mm]a_6 = ... = \sqrt{19}[/mm]
>
> Meine Vermutung ist, dass eine explizite Formel [mm]f(n) = \swrt{4 + (n-1)3}[/mm]
Da hast du wohl die Wurzel vergessen. Das heißt, hier im Quelltext erkenne ich, dass du versucht hast, sie zu schreiben, aber statt "sqrt" hast du "swrt" geschrieben. Also meiner Meinung nach müsste das stimmen, auch wenn ich die Folgenglieder nicht nachgerechnet habe.
> lautet. Um die Vermutung zu beweisen habe ich vollständige
> Induktion angewandt:
>
> Induktionsanfang:
> [mm]1 = a_0 = f(0) = \sqrt{4 - 3} = 1[/mm]
>
> Induktionsschritt:
> z.z: [mm]a_{n+1} = \sqrt{4 + (n + 1 -1)*3} = \sqrt{4 + 3*n}[/mm]
>
> [mm]a_{n+1} = \sqrt{(a_n)^2 + 3} = I.V. = \sqrt{(\sqrt{4 + (n-1)*3})^2 + 3} = \sqrt{4 + (n-1)*3 + 3} = \sqrt{4 + 3*n}[/mm]
>
> Soweit so gut denke ich.
Das muss sich nochmal jemand anders angucken, irgendwie bin ich da gerade zu blöd zu. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
> Aufgabe 1.i) bereitet mir Kopfschmerzen. Habe mir wieder
> die ersten Glieder ausgerechnet, jedoch komme ich einfach
> nicht auf eine explizite Formel. Kann mir da jemand von
> euch einen Denkanstoß geben?
>
> [mm]a_0 = 1[/mm]
> [mm]a_1 = 2[/mm]
> [mm]a_2 = ... = 2 = 2^1[/mm]
> [mm]a_3 = ... = 4 = 2^2[/mm]
>
> [mm]a_4 = ... = 8 = 2^3[/mm]
> [mm]a_5 = ... = 32 = 2^5[/mm]
> [mm]a_6 = ... = 256 = 2^8[/mm]
>
> [mm]a_2 = ... = 8192 = 2^{13}[/mm]
> [mm]...[/mm]
Sicher bin ich mir nicht, aber es sieht so aus, also würden die Exponenten der Fibonacci-Folge folgen. Da passen auch sogar die ersten beiden Elemente mit rein, denn [mm] 1=2^0 [/mm] und [mm] 2=2^1, [/mm] und die Fibonacci-Folge fängt ja an mit 0,1,1,2,3,5,8,13,... evtl. müsstest du da noch ein zwei Elemente mehr ausrechnen.
> Zu Aufgabe 2 habe ich leider noch nicht einmal einen
> richtigen Ansatz, da ich nicht weiß was eine erzeugende
> Funktion ist geschweige denn wozu sie überhaupt gut ist.
> Das wurde in der Vorlesung leider noch nicht behandelt.
> Kann mir das vieleicht mal jemand erklären? Wikipedia habe
> ich bereits um Rat gefragt. Allerdings sind die
> Informationen zu diesem Thema dort sehr spärlich, so dass
> ich nicht wirklich schlauer bin :-(
Das weiß ich gerade auch alles nicht. Aber abgesehen von Wikipedia hilft "normales Googeln" auch oft.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
> Aufgabe 1)
> Geben Sie eine explizite Formel für die beiden rekursiv
> definierten Folgen an:
> i) [mm]a_0 := 1, a_1 := 2, a_{n+2} := a_{n+1} * a_n[/mm]
> ii) [mm]a_0 := 1, a_{n+1} := \sqrt{(a_n)^2 + 3}[/mm]
>
> Aufgabe 2)
> Die Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] sei durch [mm]a_0 := 0, a_{n+1} := 2a_n + 1[/mm]
> definiert. Bestimmen Sie die gewöhnliche und die
> exponentielle erzeugende Funktion der Folge
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> Hallo zusammen,
> obige Aufgabe zum Thema Rekursion sind also zu bearbeiten
>
> Aufgabe 1.ii habe ich meines Erachtens richtig gelöst.
> Kann aber nicht schaden sich das nochmal (hoffentlich)
> bestätigen zu lassen
> Also zuallererst habe ich mir einige Folgenglieder
> ausgerechnet:
> [mm]a_0 = 1[/mm]
> [mm]a_1 = ... = \sqrt{4}[/mm]
> [mm]a_2 = ... = \sqrt{7}[/mm]
> [mm]a_3 = ... = \sqrt{10}[/mm]
>
> [mm]a_4 = ... = \sqrt{13}[/mm]
> [mm]a_5 = ... = \sqrt{16}[/mm]
> [mm]a_6 = ... = \sqrt{19}[/mm]
>
> Meine Vermutung ist, dass eine explizite Formel [mm]f(n) = \sqrt{4 + (n-1)3}[/mm]
> lautet.
Das ist richtig, die Folge lässt sich auch explizit durch
[mm]f(n) = \sqrt{4 + (n-1)3}[/mm]
beschreiben ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Der Induktionsbeweis ist auch ok.
> Aufgabe 1.i) bereitet mir Kopfschmerzen. Habe mir wieder
> die ersten Glieder ausgerechnet, jedoch komme ich einfach
> nicht auf eine explizite Formel. Kann mir da jemand von
> euch einen Denkanstoß geben?
>
> [mm]a_0 = 1[/mm]
> [mm]a_1 = 2[/mm]
> [mm]a_2 = ... = 2 = 2^1[/mm]
> [mm]a_3 = ... = 4 = 2^2[/mm]
>
> [mm]a_4 = ... = 8 = 2^3[/mm]
> [mm]a_5 = ... = 32 = 2^5[/mm]
> [mm]a_6 = ... = 256 = 2^8[/mm]
>
> [mm]a_2 = ... = 8192 = 2^{13}[/mm]
> [mm]...[/mm]
>
> Zu Aufgabe 2 habe ich leider noch nicht einmal einen
> richtigen Ansatz, da ich nicht weiß was eine erzeugende
> Funktion ist geschweige denn wozu sie überhaupt gut ist.
> Das wurde in der Vorlesung leider noch nicht behandelt.
> Kann mir das vieleicht mal jemand erklären? Wikipedia habe
> ich bereits um Rat gefragt. Allerdings sind die
> Informationen zu diesem Thema dort sehr spärlich, so dass
> ich nicht wirklich schlauer bin :-(
>
Wie Bastiane schon gesagt hat:
Man erkennt die Fibonacci-Folge im Exponenten, was auch klar ist, da die Potenzgesetze praktisch genau dasselbe erzeugen:
[mm] 2^{1}*2^{1} [/mm] = [mm] 2^{1+1} [/mm] = [mm] 2^{2}
[/mm]
[mm] 2^{1}*2^{2} [/mm] = [mm] 2^{1+2} [/mm] = [mm] 2^{3}
[/mm]
[mm] 2^{2}*2^{3} [/mm] = [mm] 2^{2+3} [/mm] = [mm] 2^{5}
[/mm]
Siehst du?
Wenn du wirklich eine explizite Formel dafür finden sollst, solltest du die für die Fibo's voraussetzen. Vielleicht habt ihr die ja sogar in der Vorlesung behandelt ?
Es wäre dann
f(n) = [mm] 2^{\overbrace{\bruch{1}{\wurzel{5}}*\left(\left(\bruch{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\bruch{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)}^{Fibonacci-Folge explizit}}.
[/mm]
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | jboss |
Hallo,
zuersteinmal entschuldigt bitte die späte Antwort.
Eure Erleuterungen haben mir sehr geholfen. Muchas gracias!
lg jboss
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