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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Do 04.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Eine quadratische Funktion mit einer Nullstelle bei x=1,deren Hochpunkt auf der y-Achse liegt,schließt mit den Koordinatenachsen im 1.Quadranten eine Fläche mit dem Inhalt 1 ein.Um welche Funktion handelt es sich? |
Hallo zusammen ^^
Ich hab mal eben diese Aufgabe gelöst,aber ich glaube,dass mir da irgendwo ein Fehler unterlaufen ist,weil ich Ende nämlich auf keine quadratische sondern lineare Funktion komme.
Ich hab so angefangen.
Allgemeiner Ansatz: Da die Funktion einen Hochpunkt auf der y-Achse hat,ist sie ja nach unten geöffnet,heißt also wir setzen ein - davor.Dann hab ich als allgemeinen Ansatz: [mm] f(x)=-ax^{2}+bx+c, [/mm] f'(x)=-2ax+b, f'''(x)=-2a
[mm] F(x)=-\bruch{1}{3}ax^{3}+\bruch{1}{2}bx^{2}+cx
[/mm]
Bedingungen:Nst bei x=1 :f(1)=0 ---> -a+b+c=0,b+c=a
Flächeninhalt 1 im 1.Quadranten: [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}=[-\bruch{1}{3}ax^{3}+\bruch{1}{2}bx^{2}+cx].
[/mm]
Wegen Nullstelle bei x=1 ist die Fläche also F(1)-F(0)=1
[mm] -\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}b+c=1
[/mm]
Stimmen denn meine Ansätze bis hier hin?Danach hab ich nämlich einfach nur das Gleichungssystem gelöst und kam auf a=b=0,was ziemlich unlogisch ist.
lg
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> Eine quadratische Funktion mit einer Nullstelle bei
> x=1,deren Hochpunkt auf der y-Achse liegt,schließt mit den
> Koordinatenachsen im 1.Quadranten eine Fläche mit dem
> Inhalt 1 ein.Um welche Funktion handelt es sich?
> Hallo zusammen ^^
>
Hallo!
> Ich hab mal eben diese Aufgabe gelöst,aber ich glaube,dass
> mir da irgendwo ein Fehler unterlaufen ist,weil ich Ende
> nämlich auf keine quadratische sondern lineare Funktion
> komme.
> Ich hab so angefangen.
>
> Allgemeiner Ansatz: Da die Funktion einen Hochpunkt auf der
> y-Achse hat,ist sie ja nach unten geöffnet,heißt also wir
> setzen ein - davor.Dann hab ich als allgemeinen Ansatz:
Halt! Da die quadratische Gleichung ihren Hochpunkt genau auf der y-Achse hat, muss sie auch zur y-Achse symmetrisch sein. Also weißt du schonmal b=0
Dein allgemeiner Ansatz sollte dann so aussehen [mm] f(x)=-ax^2+c.
[/mm]
> [mm]f(x)=-ax^{2}+bx+c,[/mm] f'(x)=-2ax+b, f'''(x)=-2a
> [mm]F(x)=-\bruch{1}{3}ax^{3}+\bruch{1}{2}bx^{2}+cx[/mm]
> Bedingungen:Nst bei x=1 :f(1)=0 --->
Ja die Bedingung ist ok!
> -a+b+c=0,b+c=a
> Flächeninhalt 1 im 1.Quadranten: [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}=[-\bruch{1}{3}ax^{3}+\bruch{1}{2}bx^{2}+cx].[/mm]
>
> Wegen Nullstelle bei x=1 ist die Fläche also F(1)-F(0)=1
>
Die Bedingung ist auch ok. Wie gesagt mache das ganze mit b=0, dann hast du genau zwei Bedingungen und kannst damit die 2 Unbekannten a und c bestimmen.
> [mm]-\bruch{1}{3}a+\bruch{1}{2}b+c=1[/mm]
>
> Stimmen denn meine Ansätze bis hier hin?Danach hab ich
> nämlich einfach nur das Gleichungssystem gelöst und kam auf
> a=b=0,was ziemlich unlogisch ist.
>
> lg
Grüße Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Do 04.09.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,stimmt.Dann mach ich das ganze für b=0
Ich hab [mm] f(x)=-ax^{2}+c, [/mm] f'(x)=-2ax, [mm] F(x)=-\bruch{1}{3}ax^{3}+cx
[/mm]
f(1)=0 -a+c=0, a=c
F(1)-F(0)=1 --> [mm] -\bruch{1}{3}a+c-0=1
[/mm]
dann kann ich ja einfach für c=a einsetzen und komme auf [mm] a=-\bruch{3}{4}.
[/mm]
Das setz ich in meinen Ansatz [mm] f(x)=-ax^{2}+c [/mm] ein und komme auf [mm] f(x)=-\bruch{3}{4}x^{2}-\bruch{3}{4}.
[/mm]
Hier hab ich nochmal ne Frage,wenn man beim Ansatz ein - vor dem a hat,dann zählt man das doch nachher bei einsetzen von a in die Gleichung doch nicht ein oder,weil ich ja sonst auf [mm] +\bruch{3}{4}x^{2}-\bruch{3}{4} [/mm] gekommen wäre.
Kann man dann das Vorzeichen im Ansatz immer beim einsetzen des Wertes außer acht lassen und nur das vorzeichen von dem Wert einsetzen?
lg
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Hallo
-a+c=0 ergibt a=c hast du
[mm] -\bruch{1}{3}a+c=1 [/mm] hast du auch, jetzt einsetzen
[mm] -\bruch{1}{3}a+a=1
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{3}a+\bruch{3}{3}a=1
[/mm]
[mm] \bruch{2}{3}a=1
[/mm]
a= ...
da die Parabel nach unten geöffnet ist, kommt vor das a das Vorzeichen -
f(x)=- ... [mm] x^{2}+ [/mm] ...
es gibt nach die Parabel, a hat positives Vorzeichen, c hat negatives Vorzeichen, dann würde aber auf der y-Achse ein Minimum liegen und die Fläche mit dem Inhalt 1 liegt im 3. bzw. 4. Quadranten,
Steffi
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