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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:22 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Man berechne:
1. $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2}}$
2. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}}$ |
Hallo,
es wurde bewiesen dass $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}$
aber ich sehe nicht wie ich damit die SUmmen berechnen kann, falls das damit möglich ist!
Was wäre denn hier ein möglicher Ansatz?
Danke für jegliche Hilfestellung!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Man berechne:
>
> 1. [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2}}[/mm]
>
> 2. [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}}[/mm]
> Hallo,
>
>
> es wurde bewiesen dass [mm]\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^{2}}{6}[/mm]
Das halte ich für ein Gerücht!
Es ist sicher [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\infty[/mm] für [mm]n\neq 0[/mm]
>
> aber ich sehe nicht wie ich damit die SUmmen berechnen
> kann, falls das damit möglich ist!
>
>
> Was wäre denn hier ein möglicher Ansatz?
Du könntest die [mm]n[/mm] in gerade und ungerade aufteilen und getrennt summieren.
[mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2} \ + \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}[/mm]
Und das sollte sich doch schnell berechnen lassen ...
>
>
> Danke für jegliche Hilfestellung!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Fr 05.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> in ungerade, gerade aufteilen
Dann ist
1. [mm] $\sum_{n=1} \frac{1}{n^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{n=1}\frac{1}{(2n)^{2}} [/mm] + [mm] \sum_{n=0} \frac{1}{(2n+1)^{2}} [/mm]
[mm] \gdw \sum _{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{\pi ^{2}}{6} [/mm] - [mm] \frac{\pi ^{2}}{24} [/mm] = [mm] \frac{\pi^{2}}{8}$
[/mm]
2. Die Geraden sind negativ und die ungeraden positv :
[mm] $\sum_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}\frac{1}{(2n+1)^{2}}-\sum_{ n=1} \frac{1}{(2n)^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \frac{\pi^{2}}{8} [/mm] - [mm] \frac{\pi^{2}}{24} [/mm] = [mm] \frac{\pi^{2}}{12}$
[/mm]
So richtig?
> GruB
Danke!!
Gruss
kushkush
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Moin kushkush,
> Dann ist
>
> 1. [mm]$\sum_{n=1} \frac{1}{n^{2}}[/mm] = [mm]\sum_{n=1}\frac{1}{(2n)^{2}}[/mm] + [mm]\sum_{n=0} \frac{1}{(2n+1)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \sum _{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2}}[/mm] = [mm]\frac{\pi ^{2}}{6}[/mm] - [mm]\frac{\pi ^{2}}{24}[/mm] = [mm]\frac{\pi^{2}}{8}$[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. Die Geraden sind negativ und die ungeraden positv :
>
> [mm]$\sum_{n=1}\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}[/mm] = [mm]\sum_{n=0}\frac{1}{(2n+1)^{2}}-\sum_{ n=1} \frac{1}{(2n)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \frac{\pi^{2}}{8}[/mm] - [mm]\frac{\pi^{2}}{24}[/mm] => [mm]\frac{\pi^{2}}{12}$[/mm]
>
>
> So richtig?
Alles richtig!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:30 Sa 06.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo kamaleonti,
> daumenhoch
> daumenhoch
> LG
Danke!!!
Gruss
kushkush
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