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| Aufgabe | Man berechne den Reihenwert von
[mm] $\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k$ [/mm] für $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $\left|z\right| [/mm] < 1$ |
Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k=\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^n\bruch{1}{z^{n-k}}=(\sum_{k=0}^\infty z^n(k+1))(\sum_{k=0}^\infty\bruch{1}{z^k})=$
[/mm]
[mm] $(\sum_{k=0}^\infty z^n(k+1))(\sum_{k=0}^\infty(\bruch{1}{z})^k)= lim_{n\to\infty}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}\sum_{k=0}^n z^n(k+1) [/mm] = [mm] lim_{n\to\infty} \bruch{z^n}{1-\bruch{1}{z}}\sum_{k=0}^n(k+1) [/mm] = [mm] lim_{n\to\infty}\bruch{z^n}{1-\bruch{1}{z}}\bruch{1-(n+1)}{1-(1+1)} [/mm] = [mm] lim_{n\to\infty} \bruch{nz^n}{1-\bruch{1}{z}}$
[/mm]
So weit bin ich jetzt. Jetzt muss ich doch irgendwie zeigen, bzw. umformen um darauf zu kommen, dass [mm] z^n [/mm] schneller gegen 0 geht als n gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder?
Ich weiß nicht mehr wie wir das früher in der Schule gemacht haben. Wir durften das irgendwann als bekannt vorraussetzen (wenn ich den Sachverhalt überhaupt noch richtig im Kopf hab).
Oder hab ich in der Rechnung sowieso schon nen schlimmen groben Schnitzer drinnen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Man berechne den Reihenwert von
> [mm]\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm] mit
> [mm]\left|z\right| < 1[/mm]
> Meine Rechnung sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^k=\sum_{k=0}^\infty(k+1)z^n\bruch{1}{z^{n-k}}=(\sum_{k=0}^\infty z^n(k+1))(\sum_{k=0}^\infty\bruch{1}{z^k})=[/mm]
>
> [mm](\sum_{k=0}^\infty z^n(k+1))(\sum_{k=0}^\infty(\bruch{1}{z})^k)= lim_{n\to\infty}\bruch{1}{1-\bruch{1}{z}}\sum_{k=0}^n z^n(k+1) = lim_{n\to\infty} \bruch{z^n}{1-\bruch{1}{z}}\sum_{k=0}^n(k+1) = lim_{n\to\infty}\bruch{z^n}{1-\bruch{1}{z}}\bruch{1-(n+1)}{1-(1+1)} = lim_{n\to\infty} \bruch{nz^n}{1-\bruch{1}{z}}[/mm]
Mein Gott, das ist ja fürchterlich ! Und falsch !
Berechne mal das Cauchyprodukt von $ [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] $ mit sich selbst und beachte:
$ [mm] \sum_{k=0}^\infty z^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-z}$ [/mm] für |z|<1
FRED
>
> So weit bin ich jetzt. Jetzt muss ich doch irgendwie
> zeigen, bzw. umformen um darauf zu kommen, dass [mm]z^n[/mm]
> schneller gegen 0 geht als n gegen [mm]\infty[/mm] oder?
> Ich weiß nicht mehr wie wir das früher in der Schule
> gemacht haben. Wir durften das irgendwann als bekannt
> vorraussetzen (wenn ich den Sachverhalt überhaupt noch
> richtig im Kopf hab).
>
> Oder hab ich in der Rechnung sowieso schon nen schlimmen
> groben Schnitzer drinnen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Dass ich die geometrische Reihe falsch umgeformt hab, da [mm] $\bruch{1}{k} [/mm] > 0$ hab ich jetzt gesehen.
Die Cauchy-Reihe für eine Quadratfunktion hab ich vorher schon berechnet. Aber das geht ja in genau die andere Richtung.
Ich dachte, wenn es so rum zu berechnen ist, dann muss ich das so umformen, wie ich es gemacht habe. Oder hab ich da auch noch nen Fehler drinnen?
Wenn ja, welchen?
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Mo 29.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ohne deine Rechnung angesehen zu haben:
Du musst doch hier keinen großen Aufwand betreiben.
Brauchst kein Cauchyprodukt.
Es ist doch [mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}z^k=\frac{1}{1-z}[/mm] für [mm]|z|<1[/mm]
Leite beide Seiten ab, linkerhand mache eine winzige Indexverschiebung und du hast die Reihe aus der Aufgabenstellung und der Reihenwert gleich dazu
Gruß
schachuzipus
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Dankeschön :)
Hab jetzt:
[mm] $\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-z)^2}$
[/mm]
Ich habs mir so kompliziert gemacht, weil unten drunter noch stand:
Tipp für die Aufgabe: Cauchyprodukt und Geometrische Reihe.
Dem entsprechend wird es wohl auch damit gehen, aber scheinbar absolut nicht so, wie ich es gemacht hab. Würde gern wissen, wie ich von der Seite wie hier in der Aufgabenstellung an das Cauchyprodukt heran trete, da das nirgens in meinen Büchern zu finden und meine Interpretation scheinbar total daneben war.
Ich glaube auch nicht, dass wir schon ableiten dürfen :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Dankeschön :)
> Hab jetzt:
> [mm]\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k = \bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
>
> Ich habs mir so kompliziert gemacht, weil unten drunter
> noch stand:
> Tipp für die Aufgabe: Cauchyprodukt und Geometrische
> Reihe.
>
> Dem entsprechend wird es wohl auch damit gehen, aber
> scheinbar absolut nicht so, wie ich es gemacht hab. Würde
> gern wissen, wie ich von der Seite wie hier in der
> Aufgabenstellung an das Cauchyprodukt heran trete, da das
> nirgens in meinen Büchern zu finden und meine
> Interpretation scheinbar total daneben war.
>
> Ich glaube auch nicht, dass wir schon ableiten dürfen :(
Es ist [mm](\sum_{n=0}^\infty z^n )^2= \bruch{1}{(1-z)^2}[/mm]
Mit dem Cauchyprodukt ist
$ [mm] (\sum_{n=0}^\infty z^n )^2= \sum_{n=0}^\infty c_n$
[/mm]
wobei [mm] $c_n= \summe_{k=0}^{n}z^k*z^{n-k}$ [/mm] = ???
FRED
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