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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Di 03.01.2012 | | Autor: | mythbu |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Reihenwert von [mm]
\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n(-1)^n}{(2n+2)!}
[/mm] als Summe von Vielfachen geeigneter Werte der Sinus- und Cosinusfunktion. |
Hallo,
nun mit dieser Aufgabe trage ich mich etwas schwer. Aufgabenstellung ist [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n(-1)^n}{(2n+2)!}$ [/mm] umformen in etwas wie $5sin(x)+cos(x)$ (soll nur schematisch sein; es sollen sin und cos vorkommen mit Vorfaktoren und Pluszeichen). Dazu soll dann die Definition von sin und cos verwendet werden:
[mm]
sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm]
cos(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}
[/mm]
Also ich forme die Gleichung aus der Aufgabenstellung in eine Kombination beider Sachen um und kann dann dafür sin bzw. cos ersetzen und habe dann meine Kombination.
Schön und gut. Die Probleme liegen nur so:
1.) Muss dann in der Aufgabenstellung nicht auch x vorkommen? Denn sonst kann ich das nicht umformen (oder sehe ich da was falsch?).
2.) Falls der/die AufgabenstellerInn das x vergessen haben sollte, wie könnte das aussehen?
Beste Grüße,
mythbu
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Di 03.01.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie den Reihenwert von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n(-1)^n}{(2n+2)!}[/mm] als Summe
> von Vielfachen geeigneter Werte der Sinus- und
> Cosinusfunktion.
> Hallo,
>
> nun mit dieser Aufgabe trage ich mich etwas schwer.
> Aufgabenstellung ist
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n(-1)^n}{(2n+2)!}[/mm] umformen in
> etwas wie [mm]5sin(x)+cos(x)[/mm] (soll nur schematisch sein; es
> sollen sin und cos vorkommen mit Vorfaktoren und
> Pluszeichen). Dazu soll dann die Definition von sin und cos
> verwendet werden:
> [mm]sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> [mm]cos(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n}}{(2n)!}[/mm]
>
> Also ich forme die Gleichung aus der Aufgabenstellung in
> eine Kombination beider Sachen um und kann dann dafür sin
> bzw. cos ersetzen und habe dann meine Kombination.
>
> Schön und gut. Die Probleme liegen nur so:
>
> 1.) Muss dann in der Aufgabenstellung nicht auch x
> vorkommen? Denn sonst kann ich das nicht umformen (oder
> sehe ich da was falsch?).
Hallo,
vielleicht geht es um Sinus- und Kosinuswerte an der Stelle x=1?
Versuche doch mal den Ansatz [mm]a*sin(1)+b*cos(1)=\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n(-1)^n}{(2n+2)!}=-\bruch{1}{4!}+\bruch{2}{6!}-\bruch{3}{8!}+...[/mm] (wobei du sin(1) und cos(1) auch in ihrer Reihenentwicklung verwendest).
Vielleicht bringt dann ein Koeffizientenvergleich etwas.
Gruß Abakus
>
> 2.) Falls der/die AufgabenstellerInn das x vergessen haben
> sollte, wie könnte das aussehen?
>
> Beste Grüße,
> mythbu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 03.01.2012 | | Autor: | mythbu |
Hallo,
okay. Aber woher soll ich dann das n zaubern? Ich kann ja nur mit den Darstellungen arbeiten, die ich gegebenen habe. Und wenn da Variablen fehlen kann ich die ja nicht einfach dazuzaubern.
Irgendwie finde ich die Aufgabe komisch :-(
Gruß,
mythbu
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[mm]\frac{1}{2} \cdot \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} + \frac{(-1)^{n+1}}{(2n+2)!} = \ldots = \frac{(-1)^n n}{(2n+2)!}[/mm]
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