Reihenwert bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
| Aufgabe | Beise: das [mm] \summe_{n\ge1}^ [/mm] 1/n(n+1) konvergiert und bestimme den Reihenwert.
|
Hallo um die Aufgabe zu Lösen habe ich erstmal eine Partialbruchzerlegung gemacht.
1/n(n+1)=A/n +Bn+C/n+1 =1/n + (-1)/n+1
Mir ist klar das ich um die Konv. zu zeigen einfach den Reihenwert ausrechen muss. Mein problem ist das ich bei der aufgabe Ka. habe wie das geht...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Blub!
Um zu zeigen, dass diese Reihe überhaupt konvergiert, kannst Du z.B. das Majorantenkriterium anwenden.
Die Idee der Partialbruchzerlegung ist gut. Auch wenn Dein Ansatz nicht korrekt ist, stimmt (erstaunlicherweise) das Ergebnis.
Der Ansatz muss lauten:
[mm] $$\bruch{1}{n*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{A}{n}+\bruch{B}{n+1}$$
[/mm]
Für die Ermittlung des Reihenwertes solltest Du Dir die ersten Glieder der Reihe aufschreiben und scharf ansehen. Hier eliminieren sich die meisten Summanden (es handelt sich um eine sog. "Teleskopsumme"), so dass der Grenzwert schnell zu ermitteln ist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
danke für den Tip ich habe es mal so versucht
Grenzwert
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1/n - 1/(n+1) =(1/1 - 1/2)+(1/3 - 1/4)+(1/4 - 1/5)+...+1/n - 1/(n+1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 1- 1/(n+1)=0
Majoranten-Kri.
wenn [mm] |an|\le [/mm] bn ist an. konv. wenn bn konv. ist
[mm] |1/n(n+1)|\le [/mm] 2/n(n+1) =2/n -2/n+1
[mm] \summe_{n\ge1}^ [/mm] (2/n-1) - 2/n= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1-2)+(2/3 -1)+1/2 -2/3)+...+ (2/n+1 -2/n) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (2 -2/(n+1)=0 damit konv. und somit auch an
|
|
|
| |
|
Hallo!
> danke für den Tip ich habe es mal so versucht
>
> Grenzwert
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1/n - 1/(n+1) =(1/1 - 1/2)+(1/3
> - 1/4)+(1/4 - 1/5)+...+1/n - 1/(n+1)
Eigentlich lautet es:
[mm] $\sum_{k= 1}^{infty} [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{1} - \bruch{1}{2}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{1}{2} - \bruch{1}{3}\right) [/mm] + ...$
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] 1- 1/(n+1)=0
Die linke Seite ist richtig, letztendlich kann man schreiben:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}\left(1-\bruch{1}{n+1}\right) [/mm] = 1$
Da kommt aber 1 raus, nicht Null!
Das reicht im Grunde, um zu zeigen, dass die Reihe konvergent ist, weil man ja eine Grenzwertberechnung durchführt.
> Majoranten-Kri.
>
> wenn [mm]|an|\le[/mm] bn ist an. konv. wenn bn konv. ist
>
> [mm]|1/n(n+1)|\le[/mm] 2/n(n+1) =2/n -2/n+1
>
> [mm]\summe_{n\ge1}^[/mm] (2/n-1) - 2/n= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm]
> (1-2)+(2/3 -1)+1/2 -2/3)+...+ (2/n+1 -2/n)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (2 -2/(n+1)=0 damit konv. und
> somit auch an
Ich verstehe nicht wozu du die Abschätzung machst. Im Übrigen kann man mit einer Teleskopsumme verhältnismäßig wenig "beweisen". Wenn du schon weißt, dass [mm] \sum_{n=1}^{infty}\bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert, würde sich das als Majorante anbieten, ansonsten halte ich das Kriterium für ungeeignet (?).
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Blub2009 |
danke für die antwort ich glaube das ich es jetzt verstanden habe.
|
|
|
|
