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| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] \summe_{n=-13}^{\infty} (2^{n+3})/(3^{n-2}) [/mm] |
In meinen Lösungen steht:
= [mm] 72*(2/3)^{-13} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2/(3)^{n}
[/mm]
= [mm] 72*(2/3)^{-13} [/mm] * 1/(1-2/3)
= [mm] 3*72*(3/2)^{13}
[/mm]
[mm] =(3^{16})/2^{10}
[/mm]
Ok, was heißt berechnen Sie? Den Wert der Reihe?
Wert der Reihe ist doch:
[mm] =\summe_{n=-13}^{0} (2/3)^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(2/3)^{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{13} (2/3)^{-n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{13} 1/((2/3)^{n}) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}
[/mm]
= [mm] \summe_{n=0}^{13} (3/2)^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}
[/mm]
= [mm] ((3/2)^{13}-1)/(3/2-1) [/mm] + 1/(2/3-1)
...
Was ist der unterschied?
Was berechnet meine Lösung und was berechne ich?
Danke schonmal!
Gruss
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Hallo Cyantific,
> Berechnen Sie [mm]\summe_{n=-13}^{\infty} (2^{n+3})/(3^{n-2})[/mm]
>
> In meinen Lösungen steht:
>
> = [mm]72*(2/3)^{-13}[/mm] * [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2/(3)^{n}[/mm]
> =
> [mm]72*(2/3)^{-13}[/mm] * 1/(1-2/3)
> = [mm]3*72*(3/2)^{13}[/mm]
> [mm]=(3^{16})/2^{10}[/mm]
>
> Ok, was heißt berechnen Sie? Den Wert der Reihe?
Ja.
>
> Wert der Reihe ist doch:
>
> [mm]=\summe_{n=-13}^{0} (2/3)^{n}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(2/3)^{n}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{13} (2/3)^{-n}[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}[/mm]
Hier berücksichtigst Du den Index 0 zweimal:
[mm]\summe_{n=-13}^{\blue{0}} (2/3)^{n} + \summe_{n=\blue{0}}^{\infty}(2/3)^{n}[/mm]
Richtig muss es lauten:
[mm]\summe_{n=-13}^{\blue{-1}} (2/3)^{n} + \summe_{n=\blue{0}}^{\infty}(2/3)^{n}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{13} 1/((2/3)^{n})[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{n=0}^{13} (3/2)^{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2/3)^{n}[/mm]
>
> = [mm]((3/2)^{13}-1)/(3/2-1)[/mm] + 1/(2/3-1)
>
> ...
>
> Was ist der unterschied?
> Was berechnet meine Lösung und was berechne ich?
Deine Lösung berechnet nur die Summe
[mm]\summe_{n=-13}^{\infty} (2/3)^{n}[/mm]
Dabei berücksichtigst Du den Index 0 doppelt,
was zu einem Fehler führt.
Die Lösung hingegen berechnet den die Summe
[mm]\summe_{n=-13}^{\infty} (2^{n+3})/(3^{n-2})[/mm]
>
> Danke schonmal!
>
> Gruss
>
Gruss
MathePower
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Danke sehr!
Die erste Rechnung berechnet den Wert und die zweite die Summe, richtig?
Also Multiplikation=Wert und Addition=Summe?
Ist die Rechnung sonst richtig, außer dass ich den Index doppelt benutzt hab?
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Hallo nochmal,
> Danke sehr!
>
> Die erste Rechnung berechnet den Wert und die zweite die
> Summe, richtig?
???
Kapiere ich nicht!
Beide Rechnungen sollen den Wert der Reihe = die (unendliche) Summe berechnen
Du hast dich aber im Gegensatz zur Musterllösung verkaspert ..
> Also Multiplikation=Wert und Addition=Summe?
>
> Ist die Rechnung sonst richtig, außer dass ich den Index
> doppelt benutzt hab?
Nein, da stimmen auch die Exponenten nicht - siehe andere Antwort
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Also kann man den Wert bzw. Summe mit einer Addition oder Multiplikation berechnen?
Wenn ich jetzt wie du sagtest den Laufinex verschiebe und auf
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2^{n-10}(/3^{n-15} [/mm] komme, kann ich dann den Faktor [mm] 2^{-10}/3^{-15} [/mm] vorschieben und die Summe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (2/(3)^{n} [/mm] mit der Formel 1/1-q berechnen?
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Hallo Cyantific,
> Also kann man den Wert bzw. Summe mit einer Addition oder
> Multiplikation berechnen?
>
> Wenn ich jetzt wie du sagtest den Laufinex verschiebe und
> auf
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2^{n-10}(/3^{n-15}[/mm] komme, kann ich
> dann den Faktor [mm]2^{-10}/3^{-15}[/mm] vorschieben und die Summe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (2/(3)^{n}[/mm] mit der Formel 1/1-q
> berechnen?
>
Ja.
Gruss
MathePower
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Hallo,
noch als Ergänzung:
> Wert der Reihe ist doch:
>
> [mm]=\summe_{n=-13}^{0} (2/3)^{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(2/3)^{n}[/mm]
Nicht nur, dass du - wie MP erwähnt hat - [mm]n=0[/mm] doppelt verarbeitest, wie kommst du zudem auf diese Exponenten?
Es muss doch lauten: [mm]\sum\limits_{n=-13}^{\infty}\frac{2^{n+3}}{3^{n-2}} \ = \sum\limits_{n=-13}^{-1}\frac{2^{n+3}}{3^{n-2}} \ + \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+3}}{3^{n-2}}[/mm]
Da hast du noch einiges vor dir.
Ich würde direkt eine Indexverschiebung machen, den Laufindex um 13 heraufsetzen und in der Summe um 13 erniedrigen, um das auszugleichen:
[mm]\sum\limits_{n=-13}^{\infty}\frac{2^{n+3}}{3^{n-2}} \ = \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{(n-13)+3}}{3^{(n-13)-2}} \ = \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n-10}}{3^{n-15}}[/mm]
Und da bist du doch schnell mit geschicktem Ausklammern bei [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{3^{n}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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