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| Aufgabe | | Ermitteln Sie den Wert der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} {(2k^2-2k-1) / 3^{k+1}} [/mm] |
Ich versuche den Wert dieser Reihe zu berechnen. Bisher konnte ich Reihen immer irgendwie auf die geometrische Formel zurückführen und diese dann damit berechnen. Das schaffe ich hier leider nicht.
Ich habe so angefangen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}( (2k^2-2k-1) [/mm] / [mm] 3^{k+1})
[/mm]
= 2 [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (k^2/ 3^{k+1} [/mm] ) - 2 [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (k/ [mm] 3^{k+1}) [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] (1/ [mm] 3^{k+1})
[/mm]
Jetzt kann ich leider nur bei dem dritten Summanden die geo. Reihe anwenden. Wie kann ich das bei den anderen machen?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo sweety321,
> Ermitteln Sie den Wert der Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} {(2k^2-2k-1) / 3^{k+1}}[/mm]
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> Ich versuche den Wert dieser Reihe zu berechnen. Bisher
> konnte ich Reihen immer irgendwie auf die geometrische
> Formel zurückführen und diese dann damit berechnen. Das
> schaffe ich hier leider nicht.
>
> Ich habe so angefangen:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}( (2k^2-2k-1)[/mm] / [mm]3^{k+1})[/mm]
> = 2 [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (k^2/ 3^{k+1}[/mm] ) - 2
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm] (k/ [mm]3^{k+1})[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{\infty}[/mm]
> (1/ [mm]3^{k+1})[/mm]
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> Jetzt kann ich leider nur bei dem dritten Summanden die
> geo. Reihe anwenden. Wie kann ich das bei den anderen
> machen?
Der dritte Summand stellt eine geometrische Reihe dar:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{3^{k+1}}=\summe_{k=1}^{\infty} q^{k+1}[/mm]
Sofern [mm]\vmat{q}< 1[/mm] ist, ist diese Summe endlich.
Um den Wert der Summe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k*q^{k+1}[/mm] zu erhalten,
differenziert man die Summe
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} q^{k+1}=s\left(q\right)[/mm]
nach q, wobei s(q) die Summe dieser Reihe ist.
Analog geht das dann für die Summe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} k^{2}*q^{k+1}[/mm]
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> Danke für eure Hilfe!
Gruss
MathePower
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wie kann man denn eine Summe differenzieren und was soll das hier bringen?
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Hallo sweety321,
> wie kann man denn eine Summe differenzieren und was soll
> das hier bringen?
Die Summe
[mm]\summe_{k=1}^{\infty}q^{k}=s\left(q\right)[/mm]
darfst Du innerhalb ihres Konvergenzbereiches differenzieren,
hier also [mm]\vmat{q}<1[/mm].
Die Differentiation der oben genannten Summe ergibt sich dann zu:
[mm]\bruch{d}{dq}\summe_{k=1}^{\infty}q^{k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{d}{dq}\left(q^{k}\right)[/mm]
Damit kannst Du die Summe
[mm]\bruch{d}{dq}\summe_{k=1}^{\infty}q^{k}=\bruch{d}{dq}s\left(q\right)[/mm]
berechnen.
Gruss
MathePower
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