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| Aufgabe | Man berechne den Wert von
[mm] $sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+2)(k+3)}$ [/mm] |
Ich bin durch umstellen jetzt auf folgendes gekommen:
[mm] $\bruch{1}{6} \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k}+\bruch{2}{k+3}-\bruch{3}{k+2})$
[/mm]
Da komm ich aber jetzt nicht mehr weiter. :/
Wie genau kann ich das angehen? Bräuchte nen Tipp bitte. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo glas_unklar,
> Man berechne den Wert von
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+2)(k+3)}[/mm]
> Ich bin durch
> umstellen jetzt auf folgendes gekommen:
> [mm]\bruch{1}{6} \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{k}+\bruch{2}{k+3}-\bruch{3}{k+2})[/mm]
Angenommen, das stimmt, so sollte dies eine nette Teleskopsumme sein, in der sich das meiste weghebt.
Es ist [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^na_k=\lim\limits_{n\to\infty}S_n[/mm]
Schreibe dir also eine solche Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] hin und schaue, was übrig bleibt.
Dann [mm]n\to\infty[/mm]
Alternativ (um keine ... schreiben zu müssen) ziehe die (Partial-)Summe auseinander und mache entsprechende Indexverschiebungen:
[mm]\frac{1}{6}\sum\limits_{k=1}^n\left(\bruch{1}{k}+\bruch{2}{k+3}-\bruch{3}{k+2}\right) \ = \ \frac{1}{6}\cdot{}\left[ \sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k} \ + \ 2\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+3} \ - \ 3\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{k+2} \ \right][/mm]
Nun bringe die Brüche in allen Summen auf einen Nenner durch eine Indexverschiebung. Dann siehst du, was in dieser Partialsumme übrig bleibt.
Schließlich [mm]n\to\infty[/mm] und du hast den Reihenwert
>
> Da komm ich aber jetzt nicht mehr weiter. :/
>
> Wie genau kann ich das angehen? Bräuchte nen Tipp bitte.
> :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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So in etwa mit der Indexverschiebung hatte ich mir das auch gedacht, nur machen mir die Produkte die Probleme. Wenn die nicht wären, könnte ich die Aufgabe lösen, nur weiß ich einfach nicht, wie ich das auf einen schönen Limes zusammen schreiben soll, wenn da steht:
[mm] $\bruch{1}{6}(\sum_{k=1}^\infty \bruch{1}{k}+2\sum_{k=4}^\infty \bruch{1}{k}- [/mm] 3 [mm] \sum_{k=3}^\infty \bruch{1}{k})$
[/mm]
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Hallo glas_unklar!
[mm] $$\bruch{1}{6}*\left(\sum_{k=1}^\infty \bruch{1}{k}+2*\sum_{k=4}^\infty \bruch{1}{k}- 3* \sum_{k=3}^\infty \bruch{1}{k}\right)$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{6}*\left[\left(\sum_{k=1}^{3} \bruch{1}{k}+\sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}\right)+2*\sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}- 3\left( \sum_{k=3}^{3} \bruch{1}{k}+ \sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}\right)\right]$$
[/mm]
$$= \ [mm] \bruch{1}{6}*\left(\sum_{k=1}^{3} \bruch{1}{k}+\sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}+2*\sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}- 3*\sum_{k=3}^{3} \bruch{1}{k}-3* \sum_{k=4}^{\infty} \bruch{1}{k}\right)$$
[/mm]
Nun kannst Du schön zusammenfassen.
Gruß vom
Roadrunner
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Dankeschön :)
Das ging ja richtig elegant. :-D
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