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| Aufgabe | Berechnen Sie für die zu den im folgenden definierten Folgen [mm] (a_n)_n_\in_\IN [/mm] gehörigen Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] jeweils die Folge der n-ten Teilsummen. Entscheiden Sie hieran, ob die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] konvergiert und bestimmen Sie gegebenenfalls den Wert der Reihe.
a) [mm] a_n:= \bruch{1}{4n^2-1} [/mm] b) [mm] a_n:= \bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n-1}} [/mm] |
Ich muss also als erstes [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] ausrechnen. Doch da liegt schon mein Problem, nämlich dass ich keinen Weg finde, die Summe in eine berechenbare Form zu bringen. Ich finde z.B. keine Summenformel die mit den Potenzen im Nenner zurecht kommt.
(Damit alle glücklich sind: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo dosenfisch,
das Stichwort für die erste Reihe ist "Partialbruchzerlegung"
Ansatz: $\frac{1}{4n^2-1}=\frac{1}{(2n+1)(2n-1)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n-1}$
Das mache mal, dann kannst du den Ansatz mit den Partialsummen und deren Grenwert weiter verfolgen.
Bei der zweiten Reihe erweitere mal $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$ mit $\sqrt{n}\red{-}\sqrt{n-1}$
Dann hast du im Nenner die 3.binomische Formel und das Ding lässt sich wunderbar als Partialsumme schreiben.
Dann schaue wieder, ob die beim Grenzübergang konvergiert oder divergiert...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Mi 28.11.2007 | | Autor: | dosenfisch |
Leider dürfen wir diese noch nicht verwenden, da sie in einem späteren Kapitel der Vorlesung kommt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Mi 28.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dosenfisch!
Was genau ist denn Deiner Meinung "verboten", da es erst später kommt?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Mi 28.11.2007 | | Autor: | dosenfisch |
Partialbruchzerlegung. Damit gehts, aber ich mach mir Gedanken, weil er meinte wir sollen nur Stoff aus der Vorlesung nutzen. Da ich aber keine andere Möglichkeit gefunden habe, werde ich es trotzdem damit machen.
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