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Reihensumme Partialbruchzerl.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:00 Do 09.12.2010
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm]

Ich brauch wieder mal Hilfe.

Bei dieser Aufgabe muss man doch die Partialbruchzerlegung anwenden denke ich.
Ich hab also folgendes gemacht:

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{A}{7+k} [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{B}{8+k} [/mm]

1 = [mm] A\cdot{}(8+k) [/mm] + [mm] B\cdot{}(7+k) [/mm]
1 = 8A + 7B + k(A+B)

[mm] k^{1}: [/mm]
k(A+B) = 0
A = -B

[mm] k^{0}: [/mm]
8A + 7B = 1
-8B + 7B = 1
B = -1

----------
B = -1
A = +1

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{7+k} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8+k} [/mm]

Ist das richtig soweit?
Wie gehts jetzt weiter? Wie kann ich daraus die Summe berechnen?

Lg


        
Bezug
Reihensumme Partialbruchzerl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:13 Do 09.12.2010
Autor: schachuzipus

Hallo dreamweaver,

> Berechnen Sie die Summe der folgenden Reihe:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm]
> Ich brauch
> wieder mal Hilfe.
>
> Bei dieser Aufgabe muss man doch die Partialbruchzerlegung
> anwenden denke ich.
> Ich hab also folgendes gemacht:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{A}{7+k}[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{B}{8+k}[/mm]

Na, das ist heikel, das so zu schreiben ... bei unendlichen Summen ...

Besser nur mit dem Bruch:

[mm]\frac{1}{(7+k)(8+k)}=\frac{A}{7+k}+\frac{B}{8+k}[/mm]

>
> 1 = [mm]A\cdot{}(8+k)[/mm] + [mm]B\cdot{}(7+k)[/mm]
> 1 = 8A + 7B + k(A+B)
>
> [mm]k^{1}:[/mm]
> k(A+B) = 0
> A = -B
>
> [mm]k^{0}:[/mm]
> 8A + 7B = 1
> -8B + 7B = 1
> B = -1
>
> ----------
> B = -1
> A = +1 [ok]

gut!

>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{(7+k)(8+k)}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{7+k}[/mm] - [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{8+k}[/mm]

Ah, wieder heikel!

Schreibe besser [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(7+k)(8+k)}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{7+k}-\frac{1}{8+k}\right)[/mm]

>
> Ist das richtig soweit?
> Wie gehts jetzt weiter? Wie kann ich daraus die Summe
> berechnen?

Nun, nutze aus, dass [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_k=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}a_k}_{=:S_n}[/mm] ist, also der Reihenwert der Grenzwert der Partialsummenfolge ist.

Schreibe dir eine solche Partialsumme [mm]S_n[/mm] mal hin (mit ...), das gibt eine nette Teleskopsumme, in der sich ziemlich alles weghebt.

Dann [mm]n\to\infty[/mm]

Alternativ ziehe die endliche Summe [mm]S_n[/mm] auseinander, mache eine Ondexverschiebung, dann siehst du auch schnell, dass sich fast alles weghebt.


Am Ende wieder [mm]n\to\infty[/mm]

>
> Lg
>

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Reihensumme Partialbruchzerl.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:07 Do 09.12.2010
Autor: dreamweaver

Vielen Dank!

Zum Schluss hebt sich dann alles bis auf [mm] \bruch{1}{8} [/mm] weg.

Lg

Bezug
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