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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 07.03.2009 | | Autor: | koker |
| Aufgabe | Berechnen Sie die Reihensumme:
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} [/mm] ( 9 / [mm] 9n^2+3n-2)
[/mm]
Verwenden Sie die Teleskop-Methode. Achten Sie auf den Reihenanfang. |
Hallo!
erstmal schreibe ich mein "Lösungsweg" auf.
Ich hab als Erstes mit der P/Q Formel die Nullstellen der Funktion berechnet(nachdem ich den Bruch durch 9 geteilt habe). Nullstellen: 1/3 und -2/3
Danach habe ich die Partialbruchzerlegung durchgeführt.
Nun soll ich ja den Reihenanfang berechnen und hier kommen wir zu meiner Frage:
[mm] \summe_{n=4}^{\infty} [/mm] ( 9 / [mm] 9n^2+3n-2) [/mm] = 1/(n-1/3) | n=4
Wieso setzen wir hier gerade 1/(n-1/3) und nicht -1/(n+2/3) ??
Schönen Dank für Eure Hilfe!
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> Berechnen Sie die Reihensumme:
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> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}[/mm] ( 9 / [mm]9n^2+3n-2)[/mm]
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> Verwenden Sie die Teleskop-Methode. Achten Sie auf den
> Reihenanfang.
> Hallo!
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> erstmal schreibe ich mein "Lösungsweg" auf.
> Ich hab als Erstes mit der P/Q Formel die Nullstellen der
> Funktion berechnet(nachdem ich den Bruch durch 9 geteilt
> habe). Nullstellen: 1/3 und -2/3
> Danach habe ich die Partialbruchzerlegung durchgeführt.
> Nun soll ich ja den Reihenanfang berechnen und hier kommen
> wir zu meiner Frage:
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> [mm]\summe_{n=4}^{\infty}[/mm] ( 9 / [mm]9n^2+3n-2)[/mm] = 1/(n-1/3) | n=4
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> Wieso setzen wir hier gerade 1/(n-1/3) und nicht -1/(n+2/3)
> ??
Es ist also [mm] $\frac{9}{9n^2+3n-2}=\frac{1}{n-\frac{1}{3}}-\frac{1}{n+\frac{2}{3}}$. [/mm] Nun verwendest Du den folgenden Trick ("Teleskopsumme"):
[mm]\sum\limits_{n=4}^\infty \frac{9}{9n^2+3n-2}&=& \sum\limits_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{n-\frac{1}{3}}-\frac{1}{n+\frac{2}{3}}\right)
= \sum\limits_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{n-\frac{1}{3}}-\frac{1}{(n+1)-\frac{1}{3}}\right)
= \sum\limits_{n=4}^\infty \frac{1}{n-\frac{1}{3}} -\sum\limits_{n=5}^\infty\frac{1}{n-\frac{1}{3}}
= \frac{1}{4-\frac{1}{3}}[/mm]
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