Reihenkonvergenz notw. Krit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
wenn ich bei einer Reihe die Konvergenz bestimmen will muss ich ja eigentlich erstmal gucken, ob die notwendige Bedingung erfüllt ist, also ob die Partialsummen gegen 0 verlaufen, wenn ja, dann muss ich weiterrechnen. War das so richtig?
Bei der Reihe
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}} [/mm] ist dies ja erfüllt, ich muss also weiterrechnen.
Aber was mache ich bei der Reihe
[mm] (\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n}? [/mm] Müsste ich hier dann etwa erstmal den limes gegen unendlich laufen lassen für die Folge [mm] \bruch({2n-1}{4n+1})^{2n}? [/mm] Das würde ja recht aufwendig werden mit Ausklammern, Brüche erzeugen etc.
Falls mir das jemand sagen kann, sonst mach ich einen neuen Thread auf: Was hat das Leibniz-Kriterium mit dem notwendigen Kriterium zu tun? Dies scheint mir ja neben Minorante, Majorante, Wurzelkriterium ein Kriterium zu sein, wo ich gar nicht rechnen brauch?
Reihe [mm] (-1)^n \bruch{2}{\wurzel{n^2+a}} [/mm] sei konvergent nach Leibniz, wieso? Ich befürchte, dass der Bruch erstmal als Nullfolge bewiesen werden muss, weil [mm] (-1)^n [/mm] ja nach Leibniz definitiv konvergiert. Aber wie zeige ich dies auch hier ohne groß rechnen zu müssen?
|
|
| |
|
Hallo Englein,
> Hallo,
>
> wenn ich bei einer Reihe die Konvergenz bestimmen will muss
> ich ja eigentlich erstmal gucken, ob die notwendige
> Bedingung erfüllt ist, also ob die Folge der Reihenglieder gegen 0
> verlaufen, wenn ja, dann muss ich weiterrechnen. War das so
> richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Obwohl du natürlich nicht musst, das notwendige Kriterium ist ja nur eine Hilfe, damit du bei "einfachen" Reihen, wo du schnell siehst, dass die Folge der Reihenglieder keine Nulfolge ist, direkt sagen kannst, dass die Reihe divergiert
Wenn du nicht sofort siehst, ob die Folge der Reihenglieder gegen 0 geht, dann lasse die Untersuchung weg 
>
> Bei der Reihe
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}[/mm] ist dies ja erfüllt, ich muss
> also weiterrechnen.
Jo, die könnte gem. Trivialkriterium konvergieren, muss aber nicht (tut sie auch nicht)
>
> Aber was mache ich bei der Reihe
>
> [mm](\bruch{2n-1}{4n+1})^{2n}?[/mm] Müsste ich hier dann etwa
> erstmal den limes gegen unendlich laufen lassen für die
> Folge [mm]\bruch({2n-1}{4n+1})^{2n}?[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das würde ja recht
> aufwendig werden mit Ausklammern, Brüche erzeugen etc.
Jo lass es weg, es gibt doch zahlreiche andere Kriterien, hier drängt sich doch wegen des $()^n$ das Wurzelkriterium förmlich auf
Schreibe es um in $\left[\left(\frac{2n-1}{4n+1}\right)^2\right]^n$ und berechne den $\limsup\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{\left[\left(\frac{2n-1}{4n+1}\right)^2\right]^n}$
>
> Falls mir das jemand sagen kann, sonst mach ich einen neuen
> Thread auf: Was hat das Leibniz-Kriterium mit dem
> notwendigen Kriterium zu tun? Dies scheint mir ja neben
> Minorante, Majorante, Wurzelkriterium ein Kriterium zu
> sein, wo ich gar nicht rechnen brauch?
hä?
>
> Reihe [mm](-1)^n \bruch{2}{\wurzel{n^2+a}}[/mm] sei konvergent nach
> Leibniz, wieso?
Welche Voraussetzungen muss den die Folge der Reihenglieder [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] erfüllen, damit die Leibnizregel greift für eine Reihe [mm] $\sum(-1)^n\cdot{}a_n$ [/mm] ?
Das musst du nochmal dringendst nachschlagen
> Ich befürchte, dass der Bruch erstmal als
> Nullfolge bewiesen werden muss,
Ja, sogar als monoton fallende Nullfolge mit ausschließlich positiven Gliedern
> weil [mm](-1)^n[/mm] ja nach Leibniz
> definitiv konvergiert. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Schreibe Reihen, wenn du Reihen meinst!!!
Du meinst [mm] $\sum (-1)^n$ [/mm] ?
[mm] $\left((-1)^n\right)_{n\in\IN}$ [/mm] ist keine Nullfolge, also muss die obige Reihe schon nach dem Trivialkriterium divergieren
Schreibe die Reihe mal etwas anders als [mm] $\sum (-1)^n\cdot{}\underbrace{1}_{=a_n}$
[/mm]
Nach Leibniz müsstest du für Konvergenz zeigen, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist mit [mm] $a_n\ge 0\forall n\in\IN$
[/mm]
Die Folge [mm] $(1)_{n\in\IN}$ [/mm] bildet keine monoton fallende Nullfolge, also keine Konvergenzaussage nach Leibniz möglich (Voraussetzungen für Leibniz nicht erfüllt)
> Aber wie zeige ich dies auch hier
> ohne groß rechnen zu müssen?
Trivialkriterium anschauen ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
