Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei: |z|=1 und [mm] z\not=1
[/mm]
Zeige: Die partialsumme der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}z^{i} [/mm] ist beschränkt.
wobei [mm] z\in \IC
[/mm]
Daraus soll gefolgert werden, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i} [/mm] konvergiert.
Außerdem folgere man, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i} [/mm] für alle [mm] \alpha \in \IR [/mm] konvergiert. |
Hi!
Also, um die Beschränktheit zu zeigen hab ich folgendes gemacht:
[mm] |\summe_{i=1}^{m}z^i|=|1-z^m|*|\bruch{z}{1-z}| \le (1+|z|^m)*|\bruch{z}{1-z}|
[/mm]
Da |z|=1 [mm] \Rightarrow 2*|\bruch{z}{1-z}|
[/mm]
Das müsste so eigentlich passen, oder?
Wie schließe ich daraus jetzt auf die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i}?
[/mm]
Und wie schließe ich auf die konvergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}?
[/mm]
Hier dachte ich an sowas wie: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}
[/mm]
Die summe ist ja immer [mm] \le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i*\alpha}{i}=\alpha
[/mm]
Damit habe ich aber nicht mit der ursprünglichen Aufgabe "gefolgert".
Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen...
gruß
Valerie
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 So 13.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> Sei: |z|=1 und [mm]z\not=1[/mm]
> Zeige: Die partialsumme der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}z^{i}[/mm] ist beschränkt.
> wobei [mm]z\in \IC[/mm]
> Daraus soll gefolgert werden, dass die
> Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i}[/mm] konvergiert.
> Außerdem folgere man, dass die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}[/mm] für alle
> [mm]\alpha \in \IR[/mm] konvergiert.
>
>
>
> Hi!
> Also, um die Beschränktheit zu zeigen hab ich folgendes
> gemacht:
>
> [mm]|\summe_{i=1}^{m}z^i|=|1-z^m|*|\bruch{z}{1-z}| \le (1+|z|^m)*|\bruch{z}{1-z}|[/mm]
>
> Da |z|=1 [mm]\Rightarrow 2*|\bruch{z}{1-z}|[/mm]
>
> Das müsste so eigentlich passen, oder?
Ja, sehe ich auch so.
> Wie schließe ich daraus jetzt auf die Konvergenz der
> Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i}?[/mm]
Ich vermute, dass es dazu irgendein Kriterium gibt, das ihr möglicherweise in der Vorlesung behandelt habt.
Ein einfaches Argument sehe ich im Moment nicht.
>
> Und wie schließe ich auf die konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}?[/mm]
Hier kann man [mm] $z=\cos\alpha+i*\sin\alpha$ [/mm] wählen
(i ist hier die imaginäre Einheit, der Summationsindex i ist im Zusammenhang mit komplexen Zahlen etwas unglücklich gewählt)
Dann ist die betrachtete Reihe gerade der Imaginärteil der konvergenten Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^k}{k}$
[/mm]
Für den (trivialen) Fall [mm] $\alpha=n*2\pi$ [/mm] mit [mm] $n\in\IZ$ [/mm] muss man dann noch eine Fallunterscheidung machen.
> Hier dachte ich an sowas wie:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}[/mm]
> Die summe ist ja immer [mm]\le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i*\alpha}{i}=\alpha[/mm]
>
> Damit habe ich aber nicht mit der ursprünglichen Aufgabe
> "gefolgert".
> Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen...
> gruß
> Valerie
>
>
|
|
|
| |
|
Hallo Valerie,
es ist äußerst irritierend, wenn die Laufvariable der Summe "i" heißt, wenn die Reihe doch eine komplexe ist, mit [mm] z\in\IC. [/mm] Immerhin ist "i" die standardmäßige Schreibweise für die imaginäre Einheit; in Physik und Elektrotechnik wird hierfür meist eher "j" verwendet.
Mir jedenfalls erschwert es die Lesbarkeit der Aufgabe ganz erheblich!
> Sei: |z|=1 und [mm]z\not=1[/mm]
> Zeige: Die partialsumme der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}z^{i}[/mm] ist beschränkt.
> wobei [mm]z\in \IC[/mm]
> Daraus soll gefolgert werden, dass die
> Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i}[/mm] konvergiert.
> Außerdem folgere man, dass die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}[/mm] für alle
> [mm]\alpha \in \IR[/mm] konvergiert.
>
>
>
> Hi!
> Also, um die Beschränktheit zu zeigen hab ich folgendes
> gemacht:
>
> [mm]|\summe_{i=1}^{m}z^i|=|1-z^m|*|\bruch{z}{1-z}| \le (1+|z|^m)*|\bruch{z}{1-z}|[/mm]
Die Grundidee geometrische Reihe ist natürlich richtig, aber in der Ausführung stimmt etwas noch nicht. Auch die Abschätzungsidee ist gut. Rechne trotzdem nochmal nach.
> Da |z|=1 [mm]\Rightarrow 2*|\bruch{z}{1-z}|[/mm]
>
> Das müsste so eigentlich passen, oder?
> Wie schließe ich daraus jetzt auf die Konvergenz der
> Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{z^{i}}{i}?[/mm]
Durch gliedweise Abschätzung.
> Und wie schließe ich auf die konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}?[/mm]
> Hier dachte ich an sowas wie:
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{sin(i*\alpha)}{i}[/mm]
> Die summe ist ja immer [mm]\le \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{i*\alpha}{i}=\alpha[/mm]
Tipp: Polarform der komplexen Zahlen.
> Damit habe ich aber nicht mit der ursprünglichen Aufgabe
> "gefolgert".
> Hoffe mir kann da jemand weiterhelfen...
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mo 14.11.2011 | | Autor: | Valerie20 |
Hallo!
> es ist äußerst irritierend, wenn die Laufvariable der
> Summe "i" heißt, wenn die Reihe doch eine komplexe ist,
> Mir jedenfalls erschwert es die Lesbarkeit der Aufgabe ganz
> erheblich!
Fand ich auch, war aber so angegeben. Der Laufindex wurde auch nicht separat definiert, wie [mm] i\in\IN [/mm] oder so.
Mit dem "i" ist aber wirklich nur der Laufindex gemeint. (Also keine imaginäre Einheit)
Trotzdem danke für die Hilfe.
gruß Valerie
|
|
|
|
