Reihenkonvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:50 So 25.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
| Aufgabe | Welche der folgenden unendlichen Reihen divergiert oder konvergiert?
(iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] für reelles a>0
(Anleitung: Man beweise zunächst, dass für [mm] \a>0 [/mm] und [mm] n\to\infty [/mm] gilt: [mm] n(\wurzel[n]{a}-1)\to\log(a) [/mm] ) |
Hallo,
bei dieser Aufgabe hänge ich schon seit einiger Zeit. Ich kann nicht mal das in der Anleitung das beweisen. Und was mir die Anleitung für die Reihe bringt weiß ich leider auch nicht genau.
Nach Recherche kam ich dadrauf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n(1-\bruch{1}{\wurzel[n]{a}})
[/mm]
Wie ich da den Grenzwert log(a) rausbekomme weiß ich jedoch nicht.
Hat man dies dann bewiesen, kann man dann die Die Reihe mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] abschätzen?
Gruß
rororo
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Hallo rororo,
> Welche der folgenden unendlichen Reihen divergiert oder
> konvergiert?
> (iii) [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\wurzel[n]{a}-1)[/mm] für reelles
> a>0
> (Anleitung: Man beweise zunächst, dass für [mm]\a>0[/mm] und
> [mm]n\to\infty[/mm] gilt: [mm]n(\wurzel[n]{a}-1)\to\log(a)[/mm] )
> Hallo,
>
> bei dieser Aufgabe hänge ich schon seit einiger Zeit. Ich
> kann nicht mal das in der Anleitung das beweisen. Und was
> mir die Anleitung für die Reihe bringt weiß ich leider auch
> nicht genau.
> Nach Recherche kam ich dadrauf:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)=\limes_{n\rightarrow\infty}n(1-\bruch{1}{\wurzel[n]{a}})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie ich da den Grenzwert log(a) rausbekomme weiß ich jedoch
> nicht.
Halte dich direkt an den Tipp und forme etwas um:
$n\cdot{}\left(\sqrt[n]{a}-1\right)=\frac{\sqrt[n]{a}-1}{\frac{1}{n}$
Das strebt nun bei direktem Grenzübergang n\to\infty gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$
Also ran mit der Regel von de l'Hôpital
Schreibe vllt. $\sqrt[n]{a}$ um in $a^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n}\cdot{}\ln(a)}$
>
> Hat man dies dann bewiesen, kann man dann die Die Reihe mit
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n(\wurzel[n]{a}-1)[/mm] abschätzen?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Das weiß ich im Moment (noch ?) nicht, ich werde aber drüber nachdenken, ich stelle die Frage also erstmal auf teilweise beantwortet 
>
> Gruß
> rororo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:50 So 25.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
Ah danke. Ich hab wieder was beim l'Hospital für mich rausgefunden, sonst hätte ich bis unendliche abgeleitet ;)
So hier der Beweis:
[mm] n*(\wurzel[n]{a}-1)=\bruch{\wurzel{n}{a}-1}{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] f(n)=\wurzel[n]{a}-1 [/mm] ; [mm] g(n)=\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n)=\limes_{n\rightarrow\infty}g(n)=0
[/mm]
[mm] f'(n)=-\bruch{log(a)\wurzel[n]{a}}{n^{2}}
[/mm]
[mm] g'(n)=-\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{f'(n)}{g'(n)}=(-\bruch{log(a)\wurzel[n]{a}}{n^{2}})(-n^{2})=log(a)\wurzel[n]{a}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}log(a)\wurzel[n]{a}=log(a)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 So 25.01.2009 | | Autor: | Moun10 |
Hab mir auch mal Gedanken gemacht und bin zu folgendem Ergebinis (eigentliche Aufgabe) gekommen:
Hat man gezeigt, dass [mm] n*(\wurzel[n]{a}-1) [/mm] gegen ln(a) konvergiert so gilt offensichtlich die Ungleichung:
[mm] n*(\wurzel[n]{a}-1) \ge [/mm] log(a)
Dann einfach beide Seiten durch n teilen und man sieht direkt, dass man die Divergenz der Reihe durch die divergente Minorante [mm] \summe_{i=1}^{inf} [/mm] 1/n zeigen kann.
Hoffe ich konnte weiterhelfen!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 25.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
Also es würde die ganze Sache sehr einfach machen, Moun10.
Aber kann man das so allgemein sagen? Ich meine das als Ungleichung auszudrücken
[mm] a_{n} \ge [/mm] Grenzwert bzw. [mm] \le [/mm] Grenzwert
Hab das noch niergends gesehen. Ich bin aber auch ein Anfänger in Sachen Mathe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:03 So 25.01.2009 | | Autor: | Moun10 |
Ich bin auch ein Anfänger um das mal vorweg zu sagen.
Allgemein kann man das denke ich nicht sagen, aber in diesem Fall müsste das schon stimmen.
Ich hab mir das z.B. für a=2 überlegt. Dann strebt die Folge [mm] n*(\wurzel[n]{2}-1) [/mm] gegen ln(2).
Jetzt kann man sich ja z.B. en Zahlenstrahl aufmalen und die ersten Glieder der Folge berechnen. Man sieht dass jeder Wert - egal welches n man einsetzt- größer/gleich ln(2) ist.
Deswegen würde es mich doch sehr wundern wenn die Ungleichung in diesem Fall nicht stimmen würde...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Mo 26.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also es würde die ganze Sache sehr einfach machen, Moun10.
> Aber kann man das so allgemein sagen? Ich meine das als
> Ungleichung auszudrücken
> [mm]a_{n} \ge[/mm] Grenzwert bzw. [mm]\le[/mm] Grenzwert
>
Das ist im allgemeinen nicht richtig
Aber es gilt das folgende:
Konvergiert [mm] (a_n) [/mm] gegen a>0, so gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit : [mm] a_n [/mm] > a/2 für n> [mm] n_0
[/mm]
(warum ???)
FRED
> Hab das noch niergends gesehen. Ich bin aber auch ein
> Anfänger in Sachen Mathe.
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