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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^\infty\bruch{k!}{k^k} [/mm] konvergiert. |
Wie mache ich das?
Der Nenner bietet sich für das Wurzelkriterium an der Zähler für das Quotienten- aber beided funktioniert nicht bei mir ... ebensowenig kann ich abschätzen oder das Verdichtungskriterium anwenden.
Wie dann?
Gruß Zerwas
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Hi,
wieso funkitioniet das QK nicht?
Die Reihe hier ist doch geradezu prädestiniert, mit dem QK verarztet zu werden
[mm] \frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\cdot{}\frac{k^k}{k!}=\frac{(k+1)k!k^k}{(k+1)(k+1)^kk!}=...\to... [/mm] für [mm] k\to\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Wenn ich mit dem QK arbeite erhalte ich:
[mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}|=|\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\cdot{}\frac{k^k}{k!}|=|\frac{(k+1)k!k^k}{(k+1)(k+1)^kk!}|=|\frac{k^k}{(k+1)^k}|
[/mm]
und jetzt? reicht es jetzt einfach zu sagen, dass [mm] (k+1)^k>k^k [/mm] und damit ist der bruch [mm] <1\forall [/mm] k?
Gruß Zerwas
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Hi nochmal,
ach, wer lesen kann, ist im Vorteil,
das ganze ist ja ^k
Ändert aber nix,
also [mm] \left(1+\frac{-1}{k+1}\right)^k=\frac{\left(1+\frac{-1}{k+1}\right)^{k+1}}{\left(1+\frac{-1}{k+1}\right)}
[/mm]
Und das strebt für [mm] k\to\infty [/mm] gegen [mm] \frac{....}{1}=.....
[/mm]
wie oben 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay vielen dank ....
Wenn ich also dann meinen obrigen Ansatz fortsetzte erhalte ich:
[mm] |\frac{a_{k+1}}{a_k}| [/mm] = [mm] |\frac{(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\cdot{}\frac{k^k}{k!}| [/mm] = [mm] |\frac{(k+1)k!k^k}{(k+1)(k+1)^kk!}| [/mm] = [mm] |\frac{k^k}{(k+1)^k} [/mm] |= [mm] |(\frac{k}{k+1})^k| [/mm] = [mm] |(\frac{k+1-1}{k+1})^k| [/mm] = [mm] |(1-\frac{1}{k+1})^k|
[/mm]
Und [mm] \frac{1}{k+1}\to [/mm] 0 für [mm] k\to\infty [/mm] und [mm] 1^k\to [/mm] 1 für [mm] k\to\infty
[/mm]
Richtig jetzt?
Gruß Zerwas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Mi 18.07.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{x}{n})^n [/mm] = [mm] e^x [/mm] für alle x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 18.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
auch für [mm] \frac{x}{n+1} [/mm] ??? :-[
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 18.07.2007 | | Autor: | wauwau |
für alle festen c und d [mm] \in \IN_0 [/mm] gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n+c})^{n+d} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n+c})^{n+c+(d-c)}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n+c})^{n+c}*(1+\bruch{x}{n+c})^{d-c}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{x}{n+c})^{n+c}*\limes_{n\rightarrow\infty}((1+\bruch{x}{n+c})^{d-c}= e^x*1 [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
