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| Aufgabe | | Person A und Person B werfen abwechselnd eine Münze und der Spieler, der als erster Kopf wirft hat gewonnen. Person A hat den ersten Wurf. Zeigen Sie, dass Person A mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 gewinnt. |
Hallo!
Ich habe für diese Aufgabe schon viel im Internet gesucht. Brauche ich dafür die bedingte Wahrscheinlichkeit oder einen bestimmten Satz, damit ich es lösen kann?
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Theoretisch könnten die beiden bis in alle Ewigkeiten werfen, falls immer nur "Zahl" erscheint.
Ansonsten würde ein Baumdiagramm wohl weiterhelfen. Probier das einfach mal aus und tu so, als ob nach spätestens 6 Würfen alles zu Ende wäre. In der Praxis werden wohl nicht viel mehr Würfe bis zum Ende benötigt.
Klar: Da A anfängt, ist er im Vorteil. Wenn sein erster Wurf allerdings"Zahl" ergibt, dann hat B den Vorteil auf seiner Seite. Jeder, der gerade am Zug ist, hat 'ne Fifty-Fifty-Chance, das Spiel für sich zu entscheiden.
In diesem Fall ist dir sogar schon das Endresultat - 2/3 - bekannt.
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Naja wenn ich das ganze in einem Baumdiagramm aufzeichne und in eine Formel packe, dann bekomme ich [mm] \summe_{k=0}^{\infty} {(\bruch{1}{2})}^{2k+1}.
[/mm]
Muss ich hier nun die Konvergenz berechnen und komme dann auf 2/3 ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
> Naja wenn ich das ganze in einem Baumdiagramm aufzeichne
> und in eine Formel packe, dann bekomme ich [mm]\summe_{k=0}^{\infty} {(\bruch{1}{2})}^{2k+1}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> Muss ich hier nun die Konvergenz berechnen und komme dann
> auf 2/3 ?
Du berechnest nicht die Konvergenz, sondern den Wert dieser Reihe - und der beträgt [mm] $\bruch{2}{3}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Naja diese Reihe kann ich aufspalten in
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} {(\bruch{1}{2})}^{2k} [/mm] ... aber nur mit welcher Formel berechne ich diese Summe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 Mi 17.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Bedenke, dass gemäß  Potenzgesetz gilt:
[mm] $$\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \left(\bruch{1}{2}\right)^2 \ \right]^k [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{4}\right)^k$$
[/mm]
Damit musst Du nun also folgende geometrische Reihe berechnen:
[mm] $$\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} *\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{2k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} *\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{4}\right)^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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