Reihendarstellung einer Funkt. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
bin seit zwei Tagen in einem Mathevorkurs für Physiker, der auch auf ein Mathestudium vorbereiten soll.
Dabei wurde uns heute folgende Aufgabe gestellt:
Welche Funktion S(x) wird dargestellt durch die folgende Reihe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}( \summe_{i=0}^{n}(((-2)^k)/(3^{k+1})*x^k)
[/mm]
Diese Aufgabe hat in keinster Weise zu dem vorher behandelten Vorlesungsstoff gepasst und auch meine Kollegen sind bei dieser Aufgabe recht ratlos.Im Internet habe ich bis auf dieses Forum nichts brauchbares gefunden und Bücher besitze ich noch nicht, weil mein Studium erst in zwei Wochen anfängt.
Für einen Lösungsansatz wäre ich sehr dankbar , weil ich unbedingt wissen möchte, wie diese Aufgabe nun endlich gelöst werden kann.
Vielen Dank schon mal im voraus
Gruß
Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Do 06.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Christian!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nichts leichter als das:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty} \frac{(-2)^k}{3^{k+1}} \cdot x^k [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \sum\limits_{i=0}^{\infty} \left( \frac{-2x}{3} \right)^k [/mm] = [mm] \frac{1}{3} \frac{1}{1 + \frac{2x}{3}} [/mm] = [mm] \cdots$
[/mm]
für
[mm] $\left\vert \frac{2x}{3} \right\vert [/mm] <1$,
also:
$|x| < [mm] \frac{3}{2}$.
[/mm]
Dies folgt aus der Formel und dem Konvergenzverhalten der geometrischen Reihe:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^i$ [/mm] konvergiert für $|x|<1$, und es gilt dort:
[mm] $\sum\limits_{i=0}^{\infty} x^i [/mm] = [mm] \frac{1}{1-x}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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